题目
设一平面经过原点及(6, -3, 2)，且与平面4x - y + 2z + 8垂直，则此平面方程为()A. 2x + 2y - 3z = 0B. 2x - 2y - 3z = 0C. 2x + 2y + 3z = 0D. 2x + 2y - 3z = 1
设一平面经过原点及(6, -3, 2)，且与平面4x - y + 2z + 8垂直，则此平面方程为()
A. 2x + 2y - 3z = 0
B. 2x - 2y - 3z = 0
C. 2x + 2y + 3z = 0
D. 2x + 2y - 3z = 1
题目解答
答案
A. 2x + 2y - 3z = 0
解析
步骤 1：确定平面的法向量
由于所求平面与平面4x - y + 2z + 8垂直，因此所求平面的法向量与平面4x - y + 2z + 8的法向量垂直。平面4x - y + 2z + 8的法向量为(4, -1, 2)。设所求平面的法向量为(n1, n2, n3)，则有4n1 - n2 + 2n3 = 0。
步骤 2：利用已知点确定平面方程
所求平面经过原点(0, 0, 0)和点(6, -3, 2)，因此可以利用这两个点来确定平面方程。设所求平面方程为Ax + By + Cz = 0，将点(6, -3, 2)代入方程，得到6A - 3B + 2C = 0。
步骤 3：求解法向量
由于所求平面的法向量(n1, n2, n3)与平面4x - y + 2z + 8的法向量(4, -1, 2)垂直，因此有4n1 - n2 + 2n3 = 0。同时，由于所求平面经过原点，因此平面方程可以写为Ax + By + Cz = 0。将点(6, -3, 2)代入方程，得到6A - 3B + 2C = 0。联立这两个方程，可以求解出法向量(n1, n2, n3)。通过观察选项，可以发现选项A的法向量(2, 2, -3)满足上述条件，因此所求平面方程为2x + 2y - 3z = 0。
由于所求平面与平面4x - y + 2z + 8垂直，因此所求平面的法向量与平面4x - y + 2z + 8的法向量垂直。平面4x - y + 2z + 8的法向量为(4, -1, 2)。设所求平面的法向量为(n1, n2, n3)，则有4n1 - n2 + 2n3 = 0。
步骤 2：利用已知点确定平面方程
所求平面经过原点(0, 0, 0)和点(6, -3, 2)，因此可以利用这两个点来确定平面方程。设所求平面方程为Ax + By + Cz = 0，将点(6, -3, 2)代入方程，得到6A - 3B + 2C = 0。
步骤 3：求解法向量
由于所求平面的法向量(n1, n2, n3)与平面4x - y + 2z + 8的法向量(4, -1, 2)垂直，因此有4n1 - n2 + 2n3 = 0。同时，由于所求平面经过原点，因此平面方程可以写为Ax + By + Cz = 0。将点(6, -3, 2)代入方程，得到6A - 3B + 2C = 0。联立这两个方程，可以求解出法向量(n1, n2, n3)。通过观察选项，可以发现选项A的法向量(2, 2, -3)满足上述条件，因此所求平面方程为2x + 2y - 3z = 0。