题目
8.填空题设随机变量X具有分布P(X=k)=(1)/(5)，k=1,2,3,4,5,则EX=____；EX^2=____；E(X+2)^2=____.
8.填空题
设随机变量X具有分布P{X=k}=$\frac{1}{5}$，k=1,2,3,4,5,则
EX=____；$EX^{2}$=____；$E(X+2)^{2}$=____.
题目解答
答案
根据期望的定义，计算如下：
1. **计算 $E(X)$**
\[
E(X) = \sum_{k=1}^{5} k \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} k = \frac{1}{5} \times 15 = 3
\]
2. **计算 $E(X^2)$**
\[
E(X^2) = \sum_{k=1}^{5} k^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{1}{5} \times 55 = 11
\]
3. **计算 $E[(X+2)^2]$**
\[
E[(X+2)^2] = \sum_{k=1}^{5} (k+2)^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} (k+2)^2 = \frac{1}{5} \times 135 = 27
\]
或利用期望性质：
\[
E[(X+2)^2] = E(X^2) + 4E(X) + 4 = 11 + 4 \times 3 + 4 = 27
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
E(X) & = & 3 \\
E(X^2) & = & 11 \\
E[(X+2)^2] & = & 27 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算 $E(X)$
根据期望的定义，$E(X)$ 是随机变量 $X$ 的所有可能取值乘以其对应的概率的和。对于本题，$X$ 的取值为 $1, 2, 3, 4, 5$，每个取值的概率都是 $\frac{1}{5}$。因此，$E(X)$ 可以表示为：
\[ E(X) = \sum_{k=1}^{5} k \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} k = \frac{1}{5} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = \frac{1}{5} \times 15 = 3 \]
步骤 2：计算 $E(X^2)$
$E(X^2)$ 是随机变量 $X$ 的平方的期望值。同样地，根据期望的定义，$E(X^2)$ 可以表示为：
\[ E(X^2) = \sum_{k=1}^{5} k^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{1}{5} \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = \frac{1}{5} \times 55 = 11 \]
步骤 3：计算 $E[(X+2)^2]$
$E[(X+2)^2]$ 是随机变量 $X+2$ 的平方的期望值。根据期望的性质，$E[(X+2)^2]$ 可以表示为：
\[ E[(X+2)^2] = E(X^2 + 4X + 4) = E(X^2) + 4E(X) + 4 = 11 + 4 \times 3 + 4 = 27 \]
或者直接计算：
\[ E[(X+2)^2] = \sum_{k=1}^{5} (k+2)^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} (k+2)^2 = \frac{1}{5} \times (3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2) = \frac{1}{5} \times 135 = 27 \]
根据期望的定义，$E(X)$ 是随机变量 $X$ 的所有可能取值乘以其对应的概率的和。对于本题，$X$ 的取值为 $1, 2, 3, 4, 5$，每个取值的概率都是 $\frac{1}{5}$。因此，$E(X)$ 可以表示为：
\[ E(X) = \sum_{k=1}^{5} k \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} k = \frac{1}{5} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = \frac{1}{5} \times 15 = 3 \]
步骤 2：计算 $E(X^2)$
$E(X^2)$ 是随机变量 $X$ 的平方的期望值。同样地，根据期望的定义，$E(X^2)$ 可以表示为：
\[ E(X^2) = \sum_{k=1}^{5} k^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{1}{5} \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = \frac{1}{5} \times 55 = 11 \]
步骤 3：计算 $E[(X+2)^2]$
$E[(X+2)^2]$ 是随机变量 $X+2$ 的平方的期望值。根据期望的性质，$E[(X+2)^2]$ 可以表示为：
\[ E[(X+2)^2] = E(X^2 + 4X + 4) = E(X^2) + 4E(X) + 4 = 11 + 4 \times 3 + 4 = 27 \]
或者直接计算：
\[ E[(X+2)^2] = \sum_{k=1}^{5} (k+2)^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{5} (k+2)^2 = \frac{1}{5} \times (3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2) = \frac{1}{5} \times 135 = 27 \]