5.[单选题]设C为正向圆周|z|=2，则oint_(c)(cos z)/((z-1)^2)dz等于（）A. (A)-sin1;B. (B)0;C. (C)cos1;D. (D)-2πisin1.

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，特别是计算二阶极点的留数。

解题核心思路：

1. 确定奇点位置：被积函数的分母为$(z-1)^2$，奇点$z=1$位于积分路径$|z|=2$内部。
2. 应用留数定理：积分结果为$2\pi i$乘以奇点处的留数。
3. 计算二阶极点的留数：利用公式$\text{Res}(f,1) = \frac{\phi^{(1)}(1)}{1!}$，其中$\phi(z) = \cos z$。

破题关键：

• 识别奇点类型（二阶极点）并选择正确的留数计算公式。
• 正确求导：对$\cos z$求一阶导数得到$-\sin z$，代入$z=1$计算留数。

步骤1：确定奇点位置

被积函数$\frac{\cos z}{(z-1)^2}$的奇点为$z=1$，而积分路径$|z|=2$包含该点（因$|1|=1 < 2$），故需计算该点的留数。

步骤2：计算二阶极点的留数

设$\phi(z) = \cos z$，则函数可表示为$\frac{\phi(z)}{(z-1)^2}$。根据二阶极点的留数公式：
$\text{Res}\left(\frac{\phi(z)}{(z-1)^2}, 1\right) = \frac{\phi'(1)}{1!} = \frac{d}{dz} (\cos z)\Big|_{z=1} = -\sin 1.$

步骤3：应用留数定理

积分结果为：
$\oint_{C} \frac{\cos z}{(z-1)^2} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(\frac{\cos z}{(z-1)^2}, 1\right) = 2\pi i \cdot (-\sin 1) = -2\pi i \sin 1.$