17、位于曲线y=x(e^-x)(0le xle +infty )下方，x轴上方的无界图形的面积是____。

为了求出位于曲线 $ y = x e^{-x} $ (其中 $ 0 \le x \le +\infty $) 下方，x轴上方的无界图形的面积，我们需要计算定积分 $ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx $。 首先，我们使用分部积分法来计算这个积分。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \] 我们选择 $ u = x $ 和 $ dv = e^{-x} \, dx $。那么， $ du = dx $ 和 $ v = -e^{-x} $。代入分部积分法的公式，我们得到： \[ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} -e^{-x} \, dx. \] 简化右边的表达式，我们有： \[ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx. \] 接下来，我们分别计算这两个项。首先，计算 $ \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} $： \[ \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) - (-0 e^{-0}) = \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) - 0 = \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}). \] 为了求 $ \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) $，我们使用洛必达法则。洛必达法则适用于 $ \frac{\infty}{\infty} $ 和 $ \frac{0}{0} $ 的形式，所以我们将 $ -x e^{-x} $ 写成 $ -\frac{x}{e^x} $： \[ \lim_{x \to +\infty} (-x e^{-x}) = -\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = -\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = -0 = 0. \] 因此， $ \left[ -x e^{-x} \right]_0^{+\infty} = 0 $。 现在，我们计算第二个项 $ \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx $： \[ \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) - (-e^{-0}) = \lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) + 1 = 0 + 1 = 1. \] 将这两个结果代回原表达式，我们得到： \[ \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx = 0 + 1 = 1. \] 因此，位于曲线 $ y = x e^{-x} $ (其中 $ 0 \le x \le +\infty $) 下方，x轴上方的无界图形的面积是 $\boxed{1}$。