4、设函数f(x)，g(x)在x=0的某去心邻域内有定义且恒不为零.若当x→0时， f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x→0时，（）. (A.)f(x)+g(x)=o(g(x)) (B.)f(x)g(x)=o(f²(x)) (C.)f(x)=o(e^g(x)-1) (D.)f(x)=o(g²(x))

考查要点：本题主要考查无穷小比较的概念及泰勒展开的应用，需要理解高阶无穷小的定义，并能灵活运用等价无穷小替换进行判断。

解题核心思路：

1. 明确高阶无穷小定义：若$f(x)=o(g(x))$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$。
2. 逐项分析选项：通过计算各选项中比值的极限，判断是否满足高阶无穷小的条件。
3. 关键技巧：对选项C中的$e^{g(x)}-1$进行泰勒展开，转化为与$g(x)$的比较。

破题关键点：

• 选项C的处理：利用$e^{g(x)}-1 \sim g(x)$（当$g(x) \to 0$时），将问题转化为$f(x)$与$g(x)$的比较，从而直接应用已知条件。

已知条件：当$x \to 0$时，$f(x)=o(g(x))$，即$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$。

选项A：$f(x)+g(x)=o(g(x))$

计算比值

$\frac{f(x)+g(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} + 1$

求极限

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{g(x)} + 1 \right) = 0 + 1 = 1 \neq 0$
结论：不成立。

选项B：$f(x)g(x)=o(f^2(x))$

计算比值

$\frac{f(x)g(x)}{f^2(x)} = \frac{g(x)}{f(x)}$

求极限

$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \infty \neq 0$
结论：不成立。

选项C：$f(x)=o(e^{g(x)}-1)$

泰勒展开

当$g(x) \to 0$时，$e^{g(x)}-1 \sim g(x)$（即$e^{g(x)}-1 = g(x) + o(g(x))$）。

比较阶数

$\frac{f(x)}{e^{g(x)}-1} \sim \frac{f(x)}{g(x)} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^{g(x)}-1} = 0$
结论：成立。

选项D：$f(x)=o(g^2(x))$

反例分析

• 若$f(x)=g(x)^3$，则$\frac{f(x)}{g^2(x)}=g(x) \to 0$，成立。
• 若$f(x)=g(x)^{1/2}$，则$\frac{f(x)}{g^2(x)}=g(x)^{-3/2} \to \infty$，不成立。
  结论：不一定成立。