4、设函数f(x)，g(x)在x=0的某去心邻域内有定义且恒不为零.若当x→0时， f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x→0时，（）. (A.)f(x)+g(x)=o(g(x)) (B.)f(x)g(x)=o(f²(x)) (C.)f(x)=o(e^g(x)-1) (D.)f(x)=o(g²(x))

已知 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，即 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$。分析各选项： (A) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + g(x)}{g(x)} = 1 \neq 0$，不成立； (B) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)g(x)}{f^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)} = \infty \neq 0$，不成立； (C) 利用泰勒展开 $e^{g(x)} - 1 \approx g(x)$，得 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^{g(x)} - 1} = 0$，成立； (D) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g^2(x)}$ 值不确定，不成立。 答案：$\boxed{C}$