题目

单选题（共10题，100.0分）7. (10.0分)已知x+y-e^xy=0，则(dy)/(dx)|_(x=0)=A 3B 1C 0D 2

单选题（共10题，100.0分） 7. (10.0分) 已知x+y-e$^{xy}$=0，则$\frac{dy}{dx}|_{x=0}$= A 3 B 1 C 0 D 2

题目解答

答案

对等式 $x + y - e^{xy} = 0$ 求导得： \[ 1 + \frac{dy}{dx} - e^{xy} \left(y + x \frac{dy}{dx}\right) = 0 \] 当 $x = 0$ 时，代入原方程得 $y = 1$。将 $x = 0$ 和 $y = 1$ 代入导数方程： \[ 1 + \frac{dy}{dx} - e^0 \cdot 1 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 0 \] 答案：$\boxed{C}$。

解析

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是先对给定的隐函数方程两边同时关于$x$求导，在求导过程中要注意$y$是关于$x$的函数，需要使用复合函数求导法则。然后将$x = 0$代入原方程求出对应的$y$值，最后把$x = 0$和求出的$y$值代入求导后的方程，解出$\frac{dy}{dx}$的值。

  1. 对隐函数方程求导：
    已知方程$x + y - e^{xy} = 0$，等式两边同时对$x$求导。
    根据求导的加法法则$(u+v+w)^\prime=u^\prime+v^\prime+w^\prime$，可得$(x)^\prime+(y)^\prime-(e^{xy})^\prime = 0$。
    • 对于$(x)^\prime$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n = 1$，所以$(x)^\prime = 1$。
    • 对于$(y)^\prime$，因为$y$是关于$x$的函数，所以$(y)^\prime=\frac{dy}{dx}$。
    • 对于$(e^{xy})^\prime$，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = xy$，则$(e^{xy})^\prime=(e^u)^\prime\cdot u^\prime$。
      $(e^u)^\prime=e^u$，$u^\prime=(xy)^\prime$，再根据乘法求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，这里$u = x$，$v = y$，所以$(xy)^\prime=(x)^\prime y+x(y)^\prime=y+x\frac{dy}{dx}$。
      因此$(e^{xy})^\prime=e^{xy}(y + x\frac{dy}{dx})$。
      综上，求导后的方程为$1 + \frac{dy}{dx} - e^{xy}(y + x\frac{dy}{dx}) = 0$。
  2. 求出$x = 0$时$y$的值：
    将$x = 0$代入原方程$x + y - e^{xy} = 0$，得到$0 + y - e^{0\times y} = 0$，即$y - 1 = 0$，解得$y = 1$。
  3. 求出$\frac{dy}{dx}|_{x = 0}$的值：
    将$x = 0$，$y = 1$代入求导后的方程$1 + \frac{dy}{dx} - e^{xy}(y + x\frac{dy}{dx}) = 0$，得到$1 + \frac{dy}{dx} - e^{0\times1}(1 + 0\times\frac{dy}{dx}) = 0$。
    因为$e^0 = 1$，所以方程变为$1 + \frac{dy}{dx} - 1 = 0$，化简可得$\frac{dy}{dx} = 0$。