题目
(十)设四元实二次型 (X)=(X)^TAX 的标准形为 =({y)_(1)}^2+2({y)_(2)}^2+3({y)_(3)}^2, 则下列错误的-|||-是 ()-|||-A、二次型的秩为3; B、二次型是正定二次型;-|||-C、二次型的规范形为 =({z)_(1)}^2+({z)_(2)}^2+({z)_(3)}^2 ; D、二次型的正惯性指数为3.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定二次型的秩
二次型的标准形为 $f={{y}_{1}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}+3{{y}_{3}}^{2}$，其中 $y_1, y_2, y_3$ 是非零项，因此二次型的秩为3。
步骤 2：判断二次型是否为正定二次型
由于标准形中的系数均为正数，即 $1, 2, 3$，所以二次型是正定二次型。
步骤 3：确定二次型的规范形
二次型的规范形是将标准形中的系数都变为1，因此二次型的规范形为 $f={{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2}$。
步骤 4：确定二次型的正惯性指数
正惯性指数是指标准形中正系数的个数，因此二次型的正惯性指数为3。
二次型的标准形为 $f={{y}_{1}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}+3{{y}_{3}}^{2}$，其中 $y_1, y_2, y_3$ 是非零项，因此二次型的秩为3。
步骤 2：判断二次型是否为正定二次型
由于标准形中的系数均为正数，即 $1, 2, 3$，所以二次型是正定二次型。
步骤 3：确定二次型的规范形
二次型的规范形是将标准形中的系数都变为1，因此二次型的规范形为 $f={{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2}$。
步骤 4：确定二次型的正惯性指数
正惯性指数是指标准形中正系数的个数，因此二次型的正惯性指数为3。