题目

.一曲线通过点(e ^2,3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.

$3.\text{一曲线通过点}(\mathrm{e}^2,3)\text{且在任}-\text{点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程}.$

题目解答

答案

解题如下：

解： $\begin{gathered} \text{解设曲线方程为 }y=f(x)\text{,由题设,有 }y^{\prime}=\frac1x\text{,即}\Big]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac1x. \\ \therefore\quad y={\frac{1}{x}}\mathrm{d}x=\ln\mid x\mid+C. \\ 又点(e^2,3)在该曲线上,所以 \\ 3=\text{ln}\mathbf{e}^2+\mathbf{C},\mathbf{C}=3-2\text{lne}=1, \\ \text{故该曲线的方程为;}y=\ln\mid x\mid+1. \end{gathered}$