(x+a/x)(2x- 1/x)^5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40

考查要点：本题主要考查二项式定理的应用，以及展开式中特定项（常数项）的求解方法。同时，需要结合系数和的条件确定参数的值。

解题思路：

1. 确定参数$a$：利用展开式中各项系数和的定义，将$x=1$代入原式，建立方程求解$a$。
2. 求常数项：将原式拆分为两个部分的乘积，分别找到每个部分中能组合成常数项的对应项，利用二项式展开的通项公式计算系数，最后相加。

破题关键：

• 系数和的性质：将$x=1$代入多项式，可快速求出所有系数之和。
• 二项式通项的应用：明确$(2x - \frac{1}{x})^5$的展开通项，分析$x$的指数，找到与$(x + \frac{a}{x})$相乘后指数抵消的项。

步骤1：求参数$a$

将$x=1$代入原式$(x + \frac{a}{x})(2x - \frac{1}{x})^5$，得：
$(1 + a) \cdot (2 \cdot 1 - \frac{1}{1})^5 = (1 + a) \cdot 1^5 = 1 + a.$
根据题意，系数和为2，故：
$1 + a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 1.$

步骤2：求常数项

原式变为$(x + \frac{1}{x})(2x - \frac{1}{x})^5$。展开$(2x - \frac{1}{x})^5$的通项为：
$T_{k+1} = \binom{5}{k} (2x)^{5-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k = \binom{5}{k} 2^{5-k} (-1)^k x^{5-2k}.$

分析常数项来源

1. $x$与$(2x - \frac{1}{x})^5$中$x^{-1}$项相乘：

   • 需满足$5 - 2k = -1 \quad \Rightarrow \quad k = 3$。
   • 对应系数为：
     $\binom{5}{3} 2^{2} (-1)^3 = 10 \cdot 4 \cdot (-1) = -40.$

2. $\frac{1}{x}$与$(2x - \frac{1}{x})^5$中$x^{1}$项相乘：

   • 需满足$5 - 2k = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 2$。
   • 对应系数为：
     $\binom{5}{2} 2^{3} (-1)^2 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80.$

合并结果

常数项为两部分之和：
$-40 + 80 = 40.$