题目

两个相干点波源 IS 和 IS，它们的振动方程分别是 IS 和 IS，波从 IS 传到IS 点经过的路程等于 IS 个波长，波从 IS 传到 IS 点的路程等于 IS个波长。设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波在 IS 点引起的两个振动的相位差是_、振动的合振幅为__。

两个相干点波源 $S_1$ 和 $S_2$ ，它们的振动方程分别是 $y_1=A\cos(\omega t+\frac{1}{2}\pi)$ 和 $y_2=A\cos(\omega t-\frac{1}{2}\pi)$ ，波从 $S_1$ 传到 $P$ 点经过的路程等于 $1$ 个波长，波从 $S_2$ 传到 $P$ 点的路程等于 $1.5$ 个波长。设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波在 $P$ 点引起的两个振动的相位差是_________、振动的合振幅为__________。

题目解答

答案

根据题目中给出的两个波源的振动方程，可以得到两个波源的角频率均为 $\omega$ ，并且两个波源的相位差为 $2\pi\times\frac{1}{2}=\pi$ ，即两个波源之间的相位差为 $\pi$ 。

因为波速等于频率乘以波长，所以两个波源之间的距离为：

$d=\frac{3}{2}\lambda-\lambda=\frac{1}{2}\lambda$

根据叠加原理，两个波源在 $P$ 点处引起的合振动可以表示为：

$y=y_1+y_2=A\cos(\omega t+\frac{1}{2\pi})+A\cos(\omega t-\frac{1}{2\pi})$

根据余弦和公式，上式可以化简为：

$y=2A\cos(\omega t)\cos(\frac{1}{2\pi})=2A\cos(\omega t)\cos(180^{\circ})$

$=-2A\cos(\omega t)$

因此，两个波在 $P$ 点引起的振动是一个振幅为 $2A$ ，相位为 $\pi$ 的简谐振动。振幅不衰减，因此合振幅为 $2A$ 。

因此，两波在 $P$ 点引起的两个振动的相位差为 $\pi$ ，振动的合振幅为 $2A$ 。

解析

步骤 1：确定两个波源的相位差
根据题目中给出的两个波源的振动方程，可以得到两个波源的角频率均为 $\omega$，并且两个波源的相位差为 $2\pi \times \dfrac {1}{2}=\pi$，即两个波源之间的相位差为 $\pi$。

步骤 2：计算波源之间的距离
因为波速等于频率乘以波长，所以两个波源之间的距离为：
$I=\dfrac {3}{2}\lambda -\lambda =\dfrac {1}{2}\lambda$

步骤 3：计算合振动的相位差和合振幅
根据叠加原理，两个波源在点处引起的合振动可以表示为：
$y=y_{1}+y_{2}=A\cos (\omega t+\dfrac {1}{2}\pi )+A\cos (\omega t-\dfrac {1}{2}\pi )$
根据余弦和公式，上式可以化简为：
$y=2A\cos (\omega t)\cos (\dfrac {1}{2}\pi )=2A\cos (\omega t)\cos ({180}^{\circ })$
$y=-2A\cos (\omega t)$
因此，两个波在点引起的振动是一个振幅为 2A，相位为 $\pi$ 的简谐振动。振幅不衰减，因此合振幅为 2A。