题目
y-|||-R-|||-x(一般综合)如图所示一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q,求环心处的电场强度(电势),
(一般综合)如图所示一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q,求环心处的电场强度{电势},
题目解答
答案
解:如图所示,在带电半圆环上任取一线元
,其电荷为:
,此电荷元可视为点电荷,它在0点产生的电场强度大小为:
,方向沿径向。因圆环上电荷对
轴呈对称性分布,所以电场分布也是轴对称的。则有: 
;
电场强度的方向沿轴负向。
解析
步骤 1：确定电荷元
在半圆环上任取一线元$dl=Rd\theta$，其电荷为：$dq=\dfrac{Q}{\pi R}Rd\theta=\dfrac{Q}{\pi}d\theta$，此电荷元可视为点电荷，它在0点产生的电场强度大小为：$dE=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}$，方向沿径向。
步骤 2：计算电场强度的分量
由于圆环上电荷对轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的。则有：
- 水平方向的电场强度分量：$dE_x=dE\cos\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}\cos\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\cos\theta d\theta$
- 垂直方向的电场强度分量：$dE_y=dE\sin\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}\sin\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\sin\theta d\theta$
步骤 3：积分求解电场强度
- 水平方向的电场强度分量的总和：$E_x=\int_{0}^{\pi}dE_x=\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\cos\theta d\theta=0$，因为对称性，水平方向的电场强度分量相互抵消。
- 垂直方向的电场强度分量的总和：$E_y=\int_{0}^{\pi}dE_y=\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\sin\theta d\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}[-\cos\theta]_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\cdot 2=\dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$
在半圆环上任取一线元$dl=Rd\theta$，其电荷为：$dq=\dfrac{Q}{\pi R}Rd\theta=\dfrac{Q}{\pi}d\theta$，此电荷元可视为点电荷，它在0点产生的电场强度大小为：$dE=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}$，方向沿径向。
步骤 2：计算电场强度的分量
由于圆环上电荷对轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的。则有：
- 水平方向的电场强度分量：$dE_x=dE\cos\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}\cos\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\cos\theta d\theta$
- 垂直方向的电场强度分量：$dE_y=dE\sin\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}\sin\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\sin\theta d\theta$
步骤 3：积分求解电场强度
- 水平方向的电场强度分量的总和：$E_x=\int_{0}^{\pi}dE_x=\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\cos\theta d\theta=0$，因为对称性，水平方向的电场强度分量相互抵消。
- 垂直方向的电场强度分量的总和：$E_y=\int_{0}^{\pi}dE_y=\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\sin\theta d\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}[-\cos\theta]_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{\pi R^2}\cdot 2=\dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$