题目
(2)已知函数f(x)=int_(0)^sin xsin t^2dt,g(x)=int_(0)^sin xf(t)dt,则 (A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.
(2)已知函数$f(x)=\int_{0}^{\sin x}\sin t^{2}dt$,$g(x)=\int_{0}^{\sin x}f(t)dt$,则 (
A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (
B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (
C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (
D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.
A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (
B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (
C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (
D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.
题目解答
答案
分析函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的奇偶性：
1. **函数 $ f(x) $ 的奇偶性：**
$ f(x) = \int_0^{\sin x} \sin t^2 \, dt $
令 $ u = -t $，则
$ f(-x) = \int_0^{-\sin x} \sin t^2 \, dt = -\int_0^{\sin x} \sin u^2 \, du = -f(x) $
故 $ f(x) $ 是奇函数。
2. **函数 $ g(x) $ 的奇偶性：**
$ g(x) = \int_0^{\sin x} f(t) \, dt $
令 $ u = -t $，则
$ g(-x) = \int_0^{-\sin x} f(t) \, dt = \int_0^{\sin x} f(-u) \, (-du) = \int_0^{\sin x} f(u) \, du = g(x) $
故 $ g(x) $ 是偶函数。
**答案：**
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查变上限积分函数的奇偶性判断，需要结合积分变量替换和奇偶函数的定义进行分析。
解题核心思路：
- 判断$f(x)$的奇偶性：通过变量替换，将$f(-x)$的积分表达式转化为与$f(x)$相关的形式，判断其符号关系。
- 判断$g(x)$的奇偶性：利用$f(x)$的奇偶性，结合变量替换，分析$g(-x)$与$g(x)$的关系。
破题关键点：
- 奇函数定义：$f(-x) = -f(x)$；偶函数定义：$f(-x) = f(x)$。
- 积分变量替换技巧：通过替换变量$u = -t$，调整积分上下限和被积函数形式。
判断$f(x)$的奇偶性
- 计算$f(-x)$：
$f(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} \sin t^2 \, dt = \int_{0}^{-\sin x} \sin t^2 \, dt$ - 变量替换：令$u = -t$，则$du = -dt$，积分上下限变为$u = 0$到$u = \sin x$：
$f(-x) = \int_{0}^{-\sin x} \sin t^2 \, dt = -\int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, du = -f(x)$ - 结论：$f(-x) = -f(x)$，故$f(x)$是奇函数。
判断$g(x)$的奇偶性
- 计算$g(-x)$：
$g(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} f(t) \, dt = \int_{0}^{-\sin x} f(t) \, dt$ - 变量替换：令$u = -t$，则$du = -dt$，积分上下限变为$u = 0$到$u = \sin x$：
$g(-x) = \int_{0}^{-\sin x} f(t) \, dt = \int_{0}^{\sin x} f(-u) \, (-du) = \int_{0}^{\sin x} f(u) \, du$ - 利用$f(x)$的奇性：$f(-u) = -f(u)$，代入后符号抵消，得：
$g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(u) \, du = g(x)$ - 结论：$g(-x) = g(x)$，故$g(x)$是偶函数。