6【判断题】(10分)若lim_(ntoinfty)|(c_(n))/(c_(n+1))|=2，则幂级数sum_(n=1)^inftyc_(n)x^2n的收敛半径为2。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查幂级数收敛半径的求解方法，特别是当幂级数中的变量指数为非线性（如$x^{2n}$）时的处理方式。

解题核心思路：

1. 变量替换：将$x^{2n}$视为$y^n$（令$y = x^2$），将原级数转化为标准形式$\sum c_n y^n$。
2. 应用比值法：利用已知条件$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = 2$，求出关于$y$的收敛半径$R_y = 2$。
3. 变量还原：将$y = x^2$代入，得到关于$x$的收敛半径$R = \sqrt{2}$，从而判断原题结论是否正确。

破题关键点：

• 指数非线性处理：通过变量替换将$x^{2n}$转化为$y^n$，简化问题。
• 收敛半径的转换：注意从$y$的收敛半径转换到$x$的收敛半径时需开平方。

1. 变量替换：
   设$y = x^2$，则原幂级数$\sum_{n=1}^\infty c_n x^{2n}$可改写为$\sum_{n=1}^\infty c_n y^n$。

2. 求关于$y$的收敛半径：
   根据比值法，级数$\sum_{n=1}^\infty c_n y^n$的收敛半径$R_y$满足：
   $R_y = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = 2$
   因此，该级数在$y$中的收敛域为$|y| < 2$。

3. 变量还原：
   将$y = x^2$代入，得$|x^2| < 2$，即$|x| < \sqrt{2}$。
   因此，原级数的收敛半径为$\sqrt{2}$，而非题目中给出的$2$。

结论：原题说法错误，正确答案为B。