题目
计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x);-|||-(2)lim arctan x
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限 $\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，${x}^{2}$ 趋近于 $0$。
- $\sin \dfrac {1}{x}$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，但不会影响 ${x}^{2}$ 趋近于 $0$ 的结果。
- 因此，${x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$ 的极限为 $0$。
步骤 2：分析极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$
- 当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时，$\arctan x$ 趋近于 $\dfrac {\pi }{2}$。
- $\dfrac {\arctan x}{x}$ 的分子趋近于一个常数，而分母趋近于 $\infty$。
- 因此，$\dfrac {\arctan x}{x}$ 的极限为 $0$。
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，${x}^{2}$ 趋近于 $0$。
- $\sin \dfrac {1}{x}$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，但不会影响 ${x}^{2}$ 趋近于 $0$ 的结果。
- 因此，${x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$ 的极限为 $0$。
步骤 2：分析极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$
- 当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时，$\arctan x$ 趋近于 $\dfrac {\pi }{2}$。
- $\dfrac {\arctan x}{x}$ 的分子趋近于一个常数，而分母趋近于 $\infty$。
- 因此，$\dfrac {\arctan x}{x}$ 的极限为 $0$。