题目
练习1 求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行的直线方程.
练习1 求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行的直线方程.
题目解答
答案
两平面的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = (1, 0, -4)$ 和 $\mathbf{n}_2 = (2, -1, -5)$。计算叉积得直线方向向量：
\[
\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = (-4, -3, -1)
\]
或取 $\mathbf{s'} = (4, 3, 1)$。利用点向式方程，过点 $(-3, 2, 5)$ 的直线方程为：
\[
\boxed{\frac{x + 3}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 5}{1}}
\]
解析
步骤 1：确定两平面的法向量
平面 $x - 4z = 3$ 的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (1, 0, -4)$，平面 $2x - y - 5z = 1$ 的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (2, -1, -5)$。
步骤 2：计算两平面法向量的叉积
两平面交线的方向向量 $\mathbf{s}$ 可以通过计算 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 的叉积得到。叉积计算如下：
\[
\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & -5
\end{vmatrix} = (0 \cdot (-5) - (-4) \cdot (-1))\mathbf{i} - (1 \cdot (-5) - (-4) \cdot 2)\mathbf{j} + (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2)\mathbf{k} = (-4, -3, -1)
\]
或取 $\mathbf{s'} = (4, 3, 1)$。
步骤 3：利用点向式方程求直线方程
过点 $(-3, 2, 5)$ 且方向向量为 $\mathbf{s'} = (4, 3, 1)$ 的直线方程为：
\[
\frac{x + 3}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 5}{1}
\]
平面 $x - 4z = 3$ 的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (1, 0, -4)$，平面 $2x - y - 5z = 1$ 的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (2, -1, -5)$。
步骤 2：计算两平面法向量的叉积
两平面交线的方向向量 $\mathbf{s}$ 可以通过计算 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 的叉积得到。叉积计算如下：
\[
\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & -5
\end{vmatrix} = (0 \cdot (-5) - (-4) \cdot (-1))\mathbf{i} - (1 \cdot (-5) - (-4) \cdot 2)\mathbf{j} + (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2)\mathbf{k} = (-4, -3, -1)
\]
或取 $\mathbf{s'} = (4, 3, 1)$。
步骤 3：利用点向式方程求直线方程
过点 $(-3, 2, 5)$ 且方向向量为 $\mathbf{s'} = (4, 3, 1)$ 的直线方程为：
\[
\frac{x + 3}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 5}{1}
\]