题目

四、设(X,Y)的分布函数为F(x,y)=}(1-e^-2x)(1-e^-3y),(x>0,y>00,其它.求(1)联合概率密度f(x,y);(2)P(X>Y);(3)Z=X+Y的概率密度f_(z)(z).

四、设(X,Y)的分布函数为$F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-2x})(1-e^{-3y}),(x>0,y>0\\0,其它.\end{cases}$ 求(1)联合概率密度f(x,y);(2)P(X>Y); (3)Z=X+Y的概率密度$f_{z}(z)$.

题目解答

答案

(1) **联合概率密度** 对分布函数求导： $$ f(x, y) = \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y} = 6e^{-2x - 3y}, \quad x > 0, y > 0 $$ 其他区域为0。 (2) **计算 $P(X > Y)$** 积分区域为 $x > y > 0$： $$ P(X > Y) = \int_0^\infty \int_y^\infty 6e^{-2x - 3y} \, dx \, dy = \frac{3}{5} $$ (3) **$Z = X + Y$ 的概率密度** 分布函数 $F_Z(z) = P(X + Y \le z)$： $$ F_Z(z) = \int_0^z \int_0^{z-x} 6e^{-2x - 3y} \, dy \, dx = 1 - 3e^{-2z} + 2e^{-3z}, \quad z > 0 $$ 求导得概率密度： $$ f_Z(z) = 6e^{-2z} - 6e^{-3z}, \quad z > 0 $$ **答案：** (1) $f(x, y) = \boxed{6e^{-2x - 3y}, \, x > 0, y > 0}$ (2) $\boxed{\frac{3}{5}}$ (3) $f_Z(z) = \boxed{6e^{-2z} - 6e^{-3z}, \, z > 0}$

解析

考查要点：本题主要考查联合分布函数与联合概率密度的关系、概率积分计算以及随机变量和的卷积公式应用。

解题思路：

  1. 联合概率密度：通过对联合分布函数求二阶混合偏导数得到。
  2. 概率计算：确定积分区域后，通过二重积分计算概率。
  3. 和的分布：利用分布函数法或卷积公式，结合指数分布的独立性简化计算。

关键点：

  • 独立性判断：分布函数分解为边缘分布的乘积，说明变量独立。
  • 积分区域分析：明确变量范围，合理选择积分顺序。
  • 卷积公式应用：独立变量和的密度函数可通过卷积计算。

第（1）题

求二阶混合偏导数

联合分布函数为：
$F(x,y) = \begin{cases}(1-e^{-2x})(1-e^{-3y}), & x>0, y>0 \\0, & \text{其它}\end{cases}$
对$x$求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial x} = 2e^{-2x}(1-e^{-3y}), \quad x>0, y>0$
再对$y$求偏导：
$\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = 2e^{-2x} \cdot 3e^{-3y} = 6e^{-2x-3y}, \quad x>0, y>0$
其他区域为0。

第（2）题

确定积分区域

$X > Y$时，积分区域为$0 < y < x < \infty$，交换积分顺序：
$P(X > Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{y}^{\infty} 6e^{-2x-3y} \, dx \, dy$

计算内积分

$\int_{y}^{\infty} 6e^{-2x} \, dx = 3e^{-2y}$

计算外积分

$\int_{0}^{\infty} 3e^{-2y} \cdot e^{-3y} \, dy = 3 \int_{0}^{\infty} e^{-5y} \, dy = \frac{3}{5}$

第（3）题

分布函数法

$F_Z(z) = P(X+Y \le z) = \int_{0}^{z} \int_{0}^{z-x} 6e^{-2x-3y} \, dy \, dx$

计算内积分

$\int_{0}^{z-x} 6e^{-3y} \, dy = 2(1 - e^{-3(z-x)})$

计算外积分

$\int_{0}^{z} 2e^{-2x}(1 - e^{-3(z-x)}) \, dx = 1 - 3e^{-2z} + 2e^{-3z}$

求导得概率密度

$f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = 6e^{-2z} - 6e^{-3z}, \quad z > 0$