题目
(4)设 =((a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)) 是4阶矩阵,方程组 Ax=b 的通解是 ((2,1,0,1))^F+k(1,-1,-|||-2,0)^7.证明:a4不能由α1,α2,α3线性表出,但α4可由α1,a2,b线性表出并写出表达式.-|||-答题区
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解通解形式
方程组 $Ax=b$ 的通解形式为 $(2,1,0,1)^T + k(1,-1,-2,0)^T$，其中 $k$ 是任意实数。这意味着方程组的解集是一个直线，方向向量为 $(1,-1,-2,0)^T$，且通过点 $(2,1,0,1)^T$。
步骤 2：分析矩阵 $A$ 的列向量
矩阵 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$。由于方程组的通解形式中包含一个自由变量 $k$，这意味着矩阵 $A$ 的列向量组中至少有一个向量不能由其他向量线性表出。根据通解形式，可以推断出 $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出。
步骤 3：证明 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, b$ 线性表出
由于 $(2,1,0,1)^T$ 是方程组 $Ax=b$ 的一个特解，可以表示为 $A(2,1,0,1)^T = b$。因此，$b$ 可以表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的线性组合。由于 $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，但 $b$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表出，因此 $\alpha_4$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, b$ 线性表出。具体表达式为：
$$
\alpha_4 = b - 2\alpha_1 - \alpha_2
$$
方程组 $Ax=b$ 的通解形式为 $(2,1,0,1)^T + k(1,-1,-2,0)^T$，其中 $k$ 是任意实数。这意味着方程组的解集是一个直线，方向向量为 $(1,-1,-2,0)^T$，且通过点 $(2,1,0,1)^T$。
步骤 2：分析矩阵 $A$ 的列向量
矩阵 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$。由于方程组的通解形式中包含一个自由变量 $k$，这意味着矩阵 $A$ 的列向量组中至少有一个向量不能由其他向量线性表出。根据通解形式，可以推断出 $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出。
步骤 3：证明 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, b$ 线性表出
由于 $(2,1,0,1)^T$ 是方程组 $Ax=b$ 的一个特解，可以表示为 $A(2,1,0,1)^T = b$。因此，$b$ 可以表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的线性组合。由于 $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，但 $b$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表出，因此 $\alpha_4$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, b$ 线性表出。具体表达式为：
$$
\alpha_4 = b - 2\alpha_1 - \alpha_2
$$