10.27 一电子在 =20times (10)^-4T 的磁场中沿半径为 R=2.0cm 的螺旋线运动,螺距 =5.0cm,-|||-如题10.27图.-|||-(1)求这电子的速度;-|||-(2)磁场B的方向如何?-|||-题10.27图

考查要点：本题主要考查带电粒子在磁场中的螺旋运动，涉及速度的分解、洛伦兹力的运用以及磁场方向的判断。

解题核心思路：

1. 速度分解：电子的速度分为垂直磁场方向（$v_\perp$）和平行磁场方向（$v_\parallel$）的分量。
2. 圆周运动半径：由洛伦兹力提供向心力，$R = \dfrac{mv_\perp}{eB}$。
3. 螺距计算：平行分量的速度$ v_\parallel$与螺距$h$的关系为$h = v_\parallel \cdot T$，其中$T = \dfrac{2\pi m}{eB}$是圆周运动周期。
4. 合成速度：总速度$v = \sqrt{v_\perp^2 + v_\parallel^2}$。
5. 磁场方向：由螺旋线的轴线方向确定，具体方向需结合电子旋转方向判断。

破题关键点：

• 正确分解速度，建立分量与运动参数的联系。
• 联立公式消去参数$m$和$eB$，直接求出$v$的表达式。

第（1）题：求电子的速度

速度分量的表达式

1. 垂直分量：由圆周运动半径公式得：
   $v_\perp = \dfrac{eBR}{m}$
2. 平行分量：由螺距公式得：
   $v_\parallel = \dfrac{eBh}{2\pi m}$

合成总速度

总速度为两分量的矢量和：
$v = \sqrt{v_\perp^2 + v_\parallel^2} = \sqrt{\left(\dfrac{eBR}{m}\right)^2 + \left(\dfrac{eBh}{2\pi m}\right)^2}$

代入数据计算

已知：

• $e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$，$m = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg}$
• $B = 20 \times 10^{-4} \, \text{T}$，$R = 0.02 \, \text{m}$，$h = 0.05 \, \text{m}$

代入公式得：
$v \approx 7.57 \times 10^6 \, \text{m/s}$

第（2）题：磁场的方向

磁场方向沿螺旋线的轴线方向（即电子速度的平行分量方向）。具体方向需根据电子的旋转方向确定：

• 若电子绕轴线顺时针旋转（从上方观察），则磁场方向向下；
• 若逆时针旋转，则磁场方向向上。