题目
2.已知某种电子器件包含两个主要组件,分别以X和Y表示这两个组件的使用寿命(单位:h).设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=}1-e^-0.01x-e^-0.01y+e^-0.01(x+y),xgeqslant 0,ygeqslant 0,0,其他,求这两个组件的使用寿命都超过120h的概率.
2.已知某种电子器件包含两个主要组件,分别以X和Y表示这两个组件的使用寿命(单位:h).设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=
$\begin{cases}1-e^{-0.01x}-e^{-0.01y}+e^{-0.01(x+y)},x\geqslant 0,y\geqslant 0,\\0,其他,\end{cases}$
求这两个组件的使用寿命都超过120h的概率.
题目解答
答案
根据题目给出的联合分布函数 $ F(x, y) = \begin{cases} 1 - e^{-0.01x} - e^{-0.01y} + e^{-0.01(x+y)}, & x \geq 0, y \geq 0, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} $,
我们需要求 $ P(X > 120, Y > 120) $。
首先,观察联合分布函数的形式,可以将其分解为:
$F(x, y) = (1 - e^{-0.01x})(1 - e^{-0.01y}),$
这表明 $ X $ 和 $ Y $ 独立。
接下来,计算单个变量超过120小时的概率:
$P(X > 120) = 1 - P(X \leq 120) = 1 - F(120, +\infty) = 1 - (1 - e^{-1.2}) = e^{-1.2},$
同理,$ P(Y > 120) = e^{-1.2} $。
由于 $ X $ 和 $ Y $ 独立,两变量同时超过120小时的概率为:
$P(X > 120, Y > 120) = P(X > 120) \times P(Y > 120) = e^{-1.2} \times e^{-1.2} = e^{-2.4}.$
答案: $\boxed{e^{-2.4}}$(约等于0.0907)。