题目

2.已知f(x)的定义域为[0,1],求f(x²+1)的定义域.

题目解答

答案

已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $[0, 1]$，则对于 $ f(x^2 + 1) $，需满足 $ 0 \leq x^2 + 1 \leq 1 $。由于 $ x^2 \geq 0 $，故 $ x^2 + 1 \geq 1 $，不等式左端恒成立。只需解 $ x^2 + 1 \leq 1 $，即 $ x^2 \leq 0 $，解得 $ x = 0 $。因此，函数 $ f(x^2 + 1) $ 的定义域为 $\boxed{\{0\}}$。

解析

关键思路：
本题考察复合函数定义域的理解。已知原函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，求$f(x^2 + 1)$的定义域，需确保$x^2 + 1$的取值范围在$[0,1]$内。

破题关键：

复合函数的参数限制：$x^2 + 1$必须满足$0 \leq x^2 + 1 \leq 1$。
不等式简化：由于$x^2 \geq 0$，$x^2 + 1 \geq 1$恒成立，只需解$x^2 + 1 \leq 1$，即$x^2 \leq 0$，最终得$x = 0$。

步骤1：建立不等式
根据题意，$x^2 + 1$需满足原函数$f(x)$的定义域：
$0 \leq x^2 + 1 \leq 1.$

步骤2：分析不等式

左半部分：$0 \leq x^2 + 1$
因为$x^2 \geq 0$，所以$x^2 + 1 \geq 1 \geq 0$，恒成立，无需额外限制$x$。
右半部分：$x^2 + 1 \leq 1$
化简得：
$x^2 \leq 0.$

步骤3：求解$x$
平方数$x^2 \leq 0$的唯一解为$x = 0$。

结论：
$f(x^2 + 1)$的定义域为$\{0\}$。