题目
14.设 ^* 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解,ξ1,ξ2,···, -r 是对应齐次线-|||-性方程组的一个基础解系,证明:-|||-(1) n×, ξ1,ξ2,..., -r 线性无关.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义线性组合
令 ${k}_{0}{n}^{*}+{k}_{1}{\xi }_{1}+{k}_{2}{\xi }_{2}+\cdots +{k}_{n-r}{\xi }_{n-r}=0$，其中 ${k}_{0},{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n-r}$ 是待定系数。
步骤 2：用A左乘方程两端
用A左乘方程两端，得到 ${k}_{0}A{n}^{*}+{k}_{1}A{\xi }_{1}+{k}_{2}A{\xi }_{2}+\cdots +{k}_{n-r}A{\xi }_{n-r}=0$。
步骤 3：利用齐次线性方程组的性质
由于 ${\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，所以 $A{\xi }_{i}=0$ 对于 $i=1,2,\cdots ,n-r$ 成立。因此，上式简化为 ${k}_{0}A{n}^{*}=0$。
步骤 4：利用非齐次线性方程组的性质
由于 ${n}^{*}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的一个解，所以 $A{n}^{*}=b$。因此，上式变为 ${k}_{0}b=0$。由于 $b\neq 0$，所以 ${k}_{0}=0$。
步骤 5：证明线性无关
由于 ${k}_{0}=0$，原方程变为 ${k}_{1}{\xi }_{1}+{k}_{2}{\xi }_{2}+\cdots +{k}_{n-r}{\xi }_{n-r}=0$。由于 ${\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 是线性无关的，所以 ${k}_{1}={k}_{2}=\cdots ={k}_{n-r}=0$。因此，${n}^{*},{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 线性无关。
令 ${k}_{0}{n}^{*}+{k}_{1}{\xi }_{1}+{k}_{2}{\xi }_{2}+\cdots +{k}_{n-r}{\xi }_{n-r}=0$，其中 ${k}_{0},{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n-r}$ 是待定系数。
步骤 2：用A左乘方程两端
用A左乘方程两端，得到 ${k}_{0}A{n}^{*}+{k}_{1}A{\xi }_{1}+{k}_{2}A{\xi }_{2}+\cdots +{k}_{n-r}A{\xi }_{n-r}=0$。
步骤 3：利用齐次线性方程组的性质
由于 ${\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，所以 $A{\xi }_{i}=0$ 对于 $i=1,2,\cdots ,n-r$ 成立。因此，上式简化为 ${k}_{0}A{n}^{*}=0$。
步骤 4：利用非齐次线性方程组的性质
由于 ${n}^{*}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的一个解，所以 $A{n}^{*}=b$。因此，上式变为 ${k}_{0}b=0$。由于 $b\neq 0$，所以 ${k}_{0}=0$。
步骤 5：证明线性无关
由于 ${k}_{0}=0$，原方程变为 ${k}_{1}{\xi }_{1}+{k}_{2}{\xi }_{2}+\cdots +{k}_{n-r}{\xi }_{n-r}=0$。由于 ${\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 是线性无关的，所以 ${k}_{1}={k}_{2}=\cdots ={k}_{n-r}=0$。因此，${n}^{*},{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 线性无关。