求线性方程组 } x_1 + 2x_2 + x_3 - 2x_4 = 1 3x_1 + 6x_2 - x_3 - 2x_4 = -1 5x_1 + 10x_2 + x_3 - 6x_4 = 1 的通解.

我们来求解下面这个线性方程组的通解：

$\begin{cases}x_1 + 2x_2 + x_3 - 2x_4 = 1 \quad \text{(1)}\\3x_1 + 6x_2 - x_3 - 2x_4 = -1 \quad \text{(2)}\\5x_1 + 10x_2 + x_3 - 6x_4 = 1 \quad \text{(3)}\end{cases}$

第一步：写出增广矩阵

将方程组写成增广矩阵形式：

$\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 1 & -2 & 1 \\3 & 6 & -1 & -2 & -1 \\5 & 10 & 1 & -6 & 1 \\\end{array}\right]$

第二步：使用高斯消元法化为行阶梯形

我们对增广矩阵进行初等行变换。

第1步：以第1行为主元，消去第2、3行的第一个元素

• $ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 $
• $ R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1 $

计算：

• $ R_2: [3,6,-1,-2|-1] - 3×[1,2,1,-2|1] = [0,0,-4,4|-4] $
• $ R_3: [5,10,1,-6|1] - 5×[1,2,1,-2|1] = [0,0,-4,4|-4] $

得到：

$\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 1 & -2 & 1 \\0 & 0 & -4 & 4 & -4 \\0 & 0 & -4 & 4 & -4 \\\end{array}\right]$

第2步：消去第3行，使其与第2行相同后变为0

• $ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 $

结果：第3行变为全0行（包括常数项）

$\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 1 & -2 & 1 \\0 & 0 & -4 & 4 & -4 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]$

第3步：简化第2行

将第2行除以 -4：

• $ R_2 \leftarrow R_2 / (-4) $

得到：

$\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 1 & -2 & 1 \\0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]$

第三步：回代，化为行最简形（可选）

我们现在有两个有效方程。

从第2行：
$ x_3 - x_4 = 1 \Rightarrow x_3 = x_4 + 1 $

从第1行：
$ x_1 + 2x_2 + x_3 - 2x_4 = 1 $

将 $ x_3 = x_4 + 1 $ 代入：

$x_1 + 2x_2 + (x_4 + 1) - 2x_4 = 1 \\ x_1 + 2x_2 - x_4 + 1 = 1 \\ x_1 + 2x_2 - x_4 = 0 \\ \Rightarrow x_1 = -2x_2 + x_4$

第四步：确定自由变量，写出通解

变量有 $ x_1, x_2, x_3, x_4 $

主元列是第1列和第3列（对应 $ x_1 $ 和 $ x_3 $），所以主变量是 $ x_1, x_3 $

自由变量是 $ x_2, x_4 $，可以任意取值。

令：

• $ x_2 = s $（任意常数）
• $ x_4 = t $（任意常数）

则：

• $ x_3 = t + 1 $
• $ x_1 = -2s + t $

第五步：写出通解的向量形式

$\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2s + t \\s \\t + 1 \\t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \quad (s, t \in \mathbb{R})$

答案：通解为

$\boxed{ \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} ,\quad s,t \in \mathbb{R} }$

这是该线性方程组的通解。