题目
b(3,2)-|||-) a x质点在力b(3,2)-|||-) a x(SI制)作用下沿图示路径运动。则力b(3,2)-|||-) a x在路径oa上的功Aoa=________，力在路径ab上的功Aab=________，力在路径ob上的功Aob=________，力在路径ocbo上的功Aocbo=________。
质点在力
(SI制)作用下沿图示路径运动。则力
在路径oa上的功Aoa=________，力在路径ab上的功Aab=________，力在路径ob上的功Aob=________，力在路径ocbo上的功Aocbo=________。
题目解答
答案
0 18J 17J 7J
解析
步骤 1：计算路径oa上的功Aoa
在路径oa上，质点从原点(0,0)沿x轴正方向运动到点a(3,0)。由于在路径oa上，y=0，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径oa上只有x方向的分量，即$\overrightarrow {F}=3x\overrightarrow {j}$。由于在路径oa上，质点沿x轴正方向运动，因此力$\overrightarrow {F}$与路径方向垂直，所以力在路径oa上的功Aoa=0。
步骤 2：计算路径ab上的功Aab
在路径ab上，质点从点a(3,0)沿y轴正方向运动到点b(3,2)。由于在路径ab上，x=3，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径ab上只有y方向的分量，即$\overrightarrow {F}=9\overrightarrow {j}$。因此，力在路径ab上的功Aab为：
\[Aab = \int_{0}^{2} 9 dy = 9y|_{0}^{2} = 18J\]
步骤 3：计算路径ob上的功Aob
在路径ob上，质点从原点(0,0)沿直线运动到点b(3,2)。由于在路径ob上，质点沿直线运动，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径ob上的功Aob为：
\[Aob = \int_{0}^{3} 3x dx + \int_{0}^{2} 2y^2 dy = \frac{3}{2}x^2|_{0}^{3} + \frac{2}{3}y^3|_{0}^{2} = \frac{27}{2} + \frac{16}{3} = 17J\]
步骤 4：计算路径ocbo上的功Aocbo
在路径ocbo上，质点从原点(0,0)沿x轴正方向运动到点c(3,0)，再沿y轴正方向运动到点b(3,2)，最后沿直线运动回到原点(0,0)。由于在路径ocbo上，质点沿闭合路径运动，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径ocbo上的功Aocbo为：
\[Aocbo = Aoa + Aab + Abo = 0 + 18J + (-11J) = 7J\]
其中，Abo为路径bo上的功，由于在路径bo上，质点沿直线运动，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径bo上的功Abo为：
\[Abo = \int_{3}^{0} 3x dx + \int_{2}^{0} 2y^2 dy = -\frac{27}{2} - \frac{16}{3} = -11J\]
在路径oa上，质点从原点(0,0)沿x轴正方向运动到点a(3,0)。由于在路径oa上，y=0，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径oa上只有x方向的分量，即$\overrightarrow {F}=3x\overrightarrow {j}$。由于在路径oa上，质点沿x轴正方向运动，因此力$\overrightarrow {F}$与路径方向垂直，所以力在路径oa上的功Aoa=0。
步骤 2：计算路径ab上的功Aab
在路径ab上，质点从点a(3,0)沿y轴正方向运动到点b(3,2)。由于在路径ab上，x=3，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径ab上只有y方向的分量，即$\overrightarrow {F}=9\overrightarrow {j}$。因此，力在路径ab上的功Aab为：
\[Aab = \int_{0}^{2} 9 dy = 9y|_{0}^{2} = 18J\]
步骤 3：计算路径ob上的功Aob
在路径ob上，质点从原点(0,0)沿直线运动到点b(3,2)。由于在路径ob上，质点沿直线运动，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径ob上的功Aob为：
\[Aob = \int_{0}^{3} 3x dx + \int_{0}^{2} 2y^2 dy = \frac{3}{2}x^2|_{0}^{3} + \frac{2}{3}y^3|_{0}^{2} = \frac{27}{2} + \frac{16}{3} = 17J\]
步骤 4：计算路径ocbo上的功Aocbo
在路径ocbo上，质点从原点(0,0)沿x轴正方向运动到点c(3,0)，再沿y轴正方向运动到点b(3,2)，最后沿直线运动回到原点(0,0)。由于在路径ocbo上，质点沿闭合路径运动，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径ocbo上的功Aocbo为：
\[Aocbo = Aoa + Aab + Abo = 0 + 18J + (-11J) = 7J\]
其中，Abo为路径bo上的功，由于在路径bo上，质点沿直线运动，因此力$\overrightarrow {F}=2{y}^{2}\overrightarrow {i}+3x\overrightarrow {j}$在路径bo上的功Abo为：
\[Abo = \int_{3}^{0} 3x dx + \int_{2}^{0} 2y^2 dy = -\frac{27}{2} - \frac{16}{3} = -11J\]