题目
三、计算题（共2题，20.0分）16.（计算题，10.0分）求下列向量组a_(1)=(1,2,3,4)，a_(2)=(2,3,4,5)，a_(3)=(3,4,5,6)的秩.
三、计算题（共2题，20.0分）
16.（计算题，10.0分）
求下列向量组$a_{1}=(1,2,3,4)$，$a_{2}=(2,3,4,5)$，$a_{3}=(3,4,5,6)$的秩.
题目解答
答案
为了求向量组 $a_1 = (1, 2, 3, 4)$，$a_2 = (2, 3, 4, 5)$，$a_3 = (3, 4, 5, 6)$ 的秩，我们可以将这些向量作为列向量构成一个矩阵，然后求该矩阵的秩。矩阵 $A$ 为：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\]
矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数。我们首先对矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。
1. 将第1行乘以-2加到第2行，将第1行乘以-3加到第3行，将第1行乘以-4加到第4行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2-2 & 3-4 & 4-6 \\
3-3 & 4-6 & 5-9 \\
4-4 & 5-8 & 6-12
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -2 \\
0 & -2 & -4 \\
0 & -3 & -6
\end{pmatrix}
\]
2. 将第2行乘以-2加到第3行，将第2行乘以-3加到第4行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -2 \\
0 & -2+2 & -4+4 \\
0 & -3+3 & -6+6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
现在，矩阵已经化为行阶梯形矩阵。该行阶梯形矩阵中有两个非零行，因此矩阵 $A$ 的秩为2。从而，向量组 $a_1, a_2, a_3$ 的秩为2。
答案是 $\boxed{2}$.
解析
本题主要考察向量组秩的求解方法，核心思路是通过将向量组构成矩阵，再对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩，也就是向量组的秩。
步骤1：构造矩阵
将向量$a_1=(1,2,3,4)$、$a_2=(2,3,4,5)$、$a_3=(3,4,5,6)$作为列向量构成矩阵$A$：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
步骤2：初等行变换化行阶梯形
-
第一行消元：
第2行 = 第2行 - 2×第1行：$2-2×1=0$，$3-2×2=-1$，$4-2×3=-2$
第3行 = 第3行 - 3×第1行：$3-3×1=0$，$4-3×2=-2$，$5-3×3=-4$
第4行 = 第4行 - 4×第1行：$4-4×1=0$，$5-4×2=-3$，$6-4×3=-6$
得到：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -6 \end{pmatrix}$ -
第二行消元：
第3行 = 第3行 - 2×第2行：$-2-2×(-1)=0$，$-4-2×(-2)=0$
第4行 = 第4行 - 3×第2行：$-3-3×(-1)=0$，$-6-3×(-2)=0$
得到行阶梯形矩阵：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
步骤3：确定秩
行阶梯形矩阵中有2个非零行，故矩阵$A$的秩为2，即向量组的秩为2。