设A是实数集的非空子集，称集合B=(uv|u,v∈A且u≠v)为集合A的生成集．(1)当A=(2,3,5)时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B=(2,3,5,6,10,16)，并说明理由．

考查要点：本题主要考查集合的乘积生成集概念的理解，以及通过构造或分析元素间关系解决极值问题和存在性问题的能力。

解题思路：

1. 第（1）题：直接列举所有不同元素的乘积，注意去重。
2. 第（2）题：通过构造特定数列（如等比数列）使乘积尽可能重复，推导最小元素个数。
3. 第（3）题：假设存在这样的集合，通过方程组分析矛盾，判断是否存在解。

关键点：

• 生成集定义：元素为不同两数乘积，且不重复。
• 极值构造：利用数列结构减少乘积种类。
• 存在性分析：通过方程组的可解性判断是否存在符合条件的集合。

第（1）题

步骤：

1. 列出所有不同元素的乘积：
   • $2 \times 3 = 6$
   • $2 \times 5 = 10$
   • $3 \times 5 = 15$
2. 去重后得集合 $B = \{6, 10, 15\}$。

第（2）题

步骤：

1. 构造等比数列：设集合 $A = \{a, ar, ar^2, ar^3, ar^4\}$，其中 $a > 0$，$r > 1$。
2. 计算乘积：不同元素乘积为 $a^2 r^{i+j}$，其中 $0 \leq i < j \leq 4$。
3. 分析重复性：若 $r$ 为整数，乘积指数部分 $i+j$ 可能重复，例如 $r=2$ 时，$a^2 \cdot 2^{1+3} = a^2 \cdot 2^{0+4}$，导致乘积重复。
4. 极值推导：通过调整 $r$ 使乘积尽可能多重复，最终生成集最小元素个数为 $7$。

第（3）题

步骤：

1. 假设存在集合 $A = \{a, b, c, d\}$，满足乘积为 $B = \{2, 3, 5, 6, 10, 16\}$。
2. 排序分析：最小乘积为 $a \cdot b = 2$，次小为 $a \cdot c = 3$，最大为 $c \cdot d = 16$。
3. 建立方程组：
   • $a \cdot b = 2$
   • $a \cdot c = 3$
   • $a \cdot d = 5$
   • $b \cdot c = 6$
   • $b \cdot d = 10$
   • $c \cdot d = 16$
4. 求解矛盾：
   • 由 $a \cdot b = 2$ 得 $b = \frac{2}{a}$。
   • 由 $a \cdot c = 3$ 得 $c = \frac{3}{a}$。
   • 代入 $b \cdot c = 6$：$\frac{2}{a} \cdot \frac{3}{a} = 6 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = 1$。
   • 进一步得 $b = 2$, $c = 3$，但 $b \cdot d = 10 \Rightarrow d = 5$，此时 $c \cdot d = 15 \neq 16$，矛盾。
5. 结论：不存在符合条件的集合。