从一副扑克牌 的 13 张黑桃中,一张接一张有放回 地 抽取 3 张,没有同号的概率为 ;有 同号的概率 为 。

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算以及排列组合的基本应用，重点在于理解“有放回”抽取对事件独立性的影响，以及如何利用补集思想简化概率计算。

解题核心思路：

1. 总情况数：由于每次抽取都是独立且有放回，总共有 $13^3$ 种等可能的抽取结果。
2. 无同号情况：要求三次抽取的牌号均不重复，需分步计算每一步的可能选择数（即排列数）。
3. 有同号情况：利用补集思想，直接用1减去无同号的概率，避免直接计算复杂的情况分类。

破题关键点：

• 明确“有放回”意味着每次抽取的概率分布相同且独立。
• 正确区分排列数（无同号）与总情况数的关系。
• 灵活运用补集思想简化计算。

1. 计算无同号的概率

步骤1：计算无同号的排列数

• 第一次抽取：任意一张，共 $13$ 种选择。
• 第二次抽取：需与第一次不同，共 $12$ 种选择。
• 第三次抽取：需与前两次均不同，共 $11$ 种选择。
  因此，无同号的排列数为：
  $13 \times 12 \times 11 = 1716$

步骤2：计算总情况数
每次抽取有 $13$ 种可能，三次抽取总情况数为：
$13^3 = 2197$

步骤3：计算无同号的概率
概率为无同号排列数除以总情况数：
$\frac{1716}{2197} \approx 0.781$

2. 计算有同号的概率

利用补集思想，有同号的概率为：
$1 - 0.781 = 0.219$