一、在向量空间R^3中,求向量 alpha =((3,7,1))^T 在基-|||-(alpha )_(1)=((1,3,-1))^r (alpha )_(2)=((-1,3,2))^T _(3)=((3,1,0))^T,-|||-下的坐标,

本题主要考察向量在给定基下坐标的求解方法，核心思路是利用待定系数法：设向量$\alpha$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$下的坐标为$(x,y,z)^T$，则存在线性关系$\alpha = x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3$，据此建立线性方程组并求解$x,y,z$即可。

详细步骤：

1. 建立线性方程组
   设$\alpha = x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3$，代入向量分量得：
   $\begin{cases} x - y + 3z = 3 & (1) \\ 3x + 3y + z = 7 & (2) \\ -x + 2y = 1 & (3) \end{cases}$

2. 求解方程组

   • 由方程(3)得：$x = 2y - 1$
   • 将$x = 2y - 1$代入方程(1)：
     $(2y - 1) - y + 3z = 3 \implies y + 3z = 4 \implies y = 4 - 3z \quad (4)$
   • 将$x = 2y - 1$和$y = 4 - 3z$代入方程(2)：
     $3(2y - 1) + 3y + z = 7 \implies 9y + z = 10$
     再将$y = 4 - 3z$代入上式：
     $9(4 - 3z) + z = 10 \implies 36 - 26z = 10 \implies z = 1$
   • 反推得：$y = 4 - 3(1) = 1$，$x = 2(1) - 1 = 1$