题目

(15)lim_(xtoinfty)((2x+3)/(2x+1))^x+1.

(15)$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}.$

题目解答

答案

将原式改写为： \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x+1} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x+1+2}{2x+1} \right)^{x+1} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right)^{x+1}. \] 令 $ y = \frac{2x+1}{2} $，则 $ x = y - \frac{1}{2} $，当 $ x \to \infty $ 时，$ y \to \infty $。代入得： \[ \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{2y} \right)^{y + \frac{1}{2}} = \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{y + \frac{1}{2}}. \] 利用极限公式 $ \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^y = e $，可得： \[ \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{y + \frac{1}{2}} = \lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^y \cdot \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{\frac{1}{2}} = e \cdot 1 = e. \] 因此，原极限为 $ e $。 答案：$ e $。

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$的变形与应用。

解题核心思路：

  1. 化简分式：将分子改写为分母加上常数，使分式转化为$1 + \frac{\text{常数}}{\text{分母}}$的形式。
  2. 变量替换：通过引入新变量，将表达式调整为重要极限的标准形式。
  3. 拆分指数：将指数拆分为与分母相关的主要部分和可忽略的小部分，利用极限的乘积性质求解。

破题关键点：

  • 识别分式结构，通过变形构造出$1 + \frac{1}{y}$的形式。
  • 合理选择变量替换，使分母与指数的关联更清晰。
  • 拆分指数后，利用重要极限公式和极限的乘积法则简化计算。

步骤1：化简分式
将原式中的分式$\frac{2x+3}{2x+1}$改写为：
$\frac{2x+3}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}.$

步骤2：变量替换
令$y = \frac{2x+1}{2}$，则$x = y - \frac{1}{2}$。当$x \to \infty$时，$y \to \infty$。此时原式变为：
$\left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y + \frac{1}{2}}.$

步骤3：拆分指数
将指数拆分为$y$和$\frac{1}{2}$两部分：
$\left(1 + \frac{1}{y}\right)^y \cdot \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{\frac{1}{2}}.$

步骤4：应用重要极限公式
根据$\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$，且$\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{\frac{1}{2}} = 1$，得：
$\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y + \frac{1}{2}} = e \cdot 1 = e.$