题目
已知|overrightarrow(a)•overrightarrow(b)|=3，|overrightarrow(a)×overrightarrow(b)|=4，则|overrightarrow(a)|•|overrightarrow(b)|=（ ）A. 4B. 5C. sqrt(6)D. 8
已知|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=4，则|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|=（ ）
A. 4
B. 5
C. $\sqrt{6}$
D. 8
题目解答
答案
B. 5
解析
步骤 1：理解向量点积和叉积的定义
向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的点积定义为$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•cosθ，其中θ是$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$之间的夹角。向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的叉积定义为$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•sinθ，其结果是一个垂直于$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的向量。
步骤 2：应用已知条件
根据题目条件，我们有$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=3$和$|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}|=4$。这意味着$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•|cosθ|=3和$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•|sinθ|=4。
步骤 3：求解$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$
将步骤2中的两个等式平方后相加，得到$(|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|)^2$•(cos^2θ+sin^2θ)=3^2+4^2=9+16=25。由于cos^2θ+sin^2θ=1，我们得到$(|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|)^2=25$，从而$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|=5$。
向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的点积定义为$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•cosθ，其中θ是$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$之间的夹角。向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的叉积定义为$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•sinθ，其结果是一个垂直于$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的向量。
步骤 2：应用已知条件
根据题目条件，我们有$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=3$和$|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}|=4$。这意味着$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•|cosθ|=3和$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$•|sinθ|=4。
步骤 3：求解$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$
将步骤2中的两个等式平方后相加，得到$(|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|)^2$•(cos^2θ+sin^2θ)=3^2+4^2=9+16=25。由于cos^2θ+sin^2θ=1，我们得到$(|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|)^2=25$，从而$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|=5$。