题目

(int )_(1)^2dfrac (dx)(x(1+sqrt {2x))}=( )A.(int )_(1)^2dfrac (dx)(x(1+sqrt {2x))}=( )B.(int )_(1)^2dfrac (dx)(x(1+sqrt {2x))}=( )C.(int )_(1)^2dfrac (dx)(x(1+sqrt {2x))}=( )D.(int )_(1)^2dfrac (dx)(x(1+sqrt {2x))}=( )

$\int_1^2\frac{dx}{x(1+\sqrt{2x})}=\left(\right)$

A. $\ln2-2\ln3+2\ln(1+\sqrt{2})$

B. $\ln2-2\ln3$

C. $2\ln2+\ln3$

D. $\ln2+2\ln3$

题目解答

答案

已知积分 $\int_1^2\frac{dx}{x(1+\sqrt{2x})}$ ，令 $t=\sqrt{2x}$ ，则 $x=\frac{1}{2}t^2$ ，根据积分的公式得 $\int_1^2\frac{dx}{x(1+\sqrt{2x})}=\int_{\sqrt{2}}^2\frac{2tdt}{t^2(1+t)}$ $=2\int_{\sqrt{2}}^2\frac{dt}{t(1+t)}$ $=2\int_{\sqrt{2}}^2\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)dt$ $=2\left(\ln\left|t\right|-\ln\left|1+t\right|\right)\mid_{\sqrt{2}}^2$ $=2\ln\left|\frac{t}{1+t}\right|\mid_{\sqrt{2}}^2=2\ln\frac{2+\sqrt{2}}{3}$ $=\ln2-2\ln3+2\ln(1+\sqrt{2})$ ，故选项是A。

解析

步骤 1：换元
令$t=\sqrt{2x}$，则$x=\dfrac{1}{2}t^2$，$dx=\dfrac{1}{2}2tdt=tdt$。当$x=1$时，$t=\sqrt{2}$；当$x=2$时，$t=2$。
步骤 2：代入积分
将换元后的表达式代入原积分，得到${\int }_{\sqrt{2}}^{2}\dfrac{tdt}{\dfrac{1}{2}t^2(1+t)}=2{\int }_{\sqrt{2}}^{2}\dfrac{dt}{t(1+t)}$。
步骤 3：部分分式分解
将$\dfrac{1}{t(1+t)}$分解为$\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{1+t}$，得到$2{\int }_{\sqrt{2}}^{2}(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{1+t})dt$。
步骤 4：积分
对分解后的表达式进行积分，得到$2(\ln|t|-\ln|1+t|){|}_{\sqrt{2}}^{2}$。
步骤 5：计算
计算积分结果，得到$2\ln|\dfrac{t}{1+t}||_{\sqrt{2}}^{2}=2\ln\dfrac{2}{3}-2\ln\dfrac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$。
步骤 6：化简
化简得到$\ln2-2\ln3+2\ln(1+\sqrt{2})$。