题目
质量为m的物体从静止开始落下，已知受到的空气阻力的大小与速度的平方成正比，物体下落时能达到的极限速率为_(m)=50mcdot (s)^-1。试求物体下落速率为_(m)=50mcdot (s)^-1时所需要的时间_____秒 ( 填数值，只保留 3 位有效数字 )。重力加速度_(m)=50mcdot (s)^-1，可能用到的积分公式_(m)=50mcdot (s)^-1
质量为m的物体从静止开始落下，已知受到的空气阻力的大小与速度的平方成正比，物体下落时能达到的极限速率为
。试求物体下落速率为
时所需要的时间_____秒 ( 填数值，只保留 3 位有效数字 )。重力加速度
，可能用到的积分公式
题目解答
答案
设空气阻力
，由题意，时有
，可求出
。根据牛顿第二定律
，即
，整理后可得
，积分
，解出
，
时
，故
。
时，将代入方程，即可解得所需时间
，故空格上填2.8。
解析
步骤 1：确定空气阻力与速度的关系
空气阻力$f$与速度$v$的平方成正比，即$f=k{v}^{2}$，其中$k$为比例常数。当物体达到极限速度${v}_{m}$时，空气阻力等于重力，即$mg=k{{v}_{m}}^{2}$，由此可求出比例常数$k=\dfrac {mg}{{{v}_{m}}^{2}}$。
步骤 2：应用牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，物体所受的合外力等于物体的质量乘以加速度，即$mg-f=ma$。将空气阻力$f=k{v}^{2}$代入，得到$mg-k{v}^{2}=m\dfrac {dv}{dt}$。整理后得到$\dfrac {dt}{m}=\dfrac {dv}{mg-k{v}^{2}}$。
步骤 3：积分求解时间
对上式两边积分，得到$\int \dfrac {dt}{m}=\int \dfrac {dv}{mg-k{v}^{2}}$。利用给定的积分公式$\dfrac {dx}{{a}^{2}-{x}^{2}}=\dfrac {1}{2a}\ln \dfrac {a+x}{a-x}+C$，将$a=\sqrt {\dfrac {mg}{k}}$代入，得到$t=\dfrac {\sqrt {m}}{2\sqrt {k}\sqrt {9}}\ln \dfrac {\sqrt {mg}+\sqrt {k}v}{\sqrt {mg}-\sqrt {kv}}+C$。当$v=0$时，$t=0$，故$C=0$。当$v=25m\cdot {s}^{-1}$时，代入$k=\dfrac {mg}{{{v}_{m}}^{2}}$，得到$t=\dfrac {{v}_{m}}{2g}\ln 3$。
步骤 4：计算所需时间
将${v}_{m}=50m\cdot {s}^{-1}$和$g=9.80m\cdot {s}^{-2}$代入$t=\dfrac {{v}_{m}}{2g}\ln 3$，得到$t=\dfrac {50}{2\times 9.80}\ln 3=2.80s$。
空气阻力$f$与速度$v$的平方成正比，即$f=k{v}^{2}$，其中$k$为比例常数。当物体达到极限速度${v}_{m}$时，空气阻力等于重力，即$mg=k{{v}_{m}}^{2}$，由此可求出比例常数$k=\dfrac {mg}{{{v}_{m}}^{2}}$。
步骤 2：应用牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，物体所受的合外力等于物体的质量乘以加速度，即$mg-f=ma$。将空气阻力$f=k{v}^{2}$代入，得到$mg-k{v}^{2}=m\dfrac {dv}{dt}$。整理后得到$\dfrac {dt}{m}=\dfrac {dv}{mg-k{v}^{2}}$。
步骤 3：积分求解时间
对上式两边积分，得到$\int \dfrac {dt}{m}=\int \dfrac {dv}{mg-k{v}^{2}}$。利用给定的积分公式$\dfrac {dx}{{a}^{2}-{x}^{2}}=\dfrac {1}{2a}\ln \dfrac {a+x}{a-x}+C$，将$a=\sqrt {\dfrac {mg}{k}}$代入，得到$t=\dfrac {\sqrt {m}}{2\sqrt {k}\sqrt {9}}\ln \dfrac {\sqrt {mg}+\sqrt {k}v}{\sqrt {mg}-\sqrt {kv}}+C$。当$v=0$时，$t=0$，故$C=0$。当$v=25m\cdot {s}^{-1}$时，代入$k=\dfrac {mg}{{{v}_{m}}^{2}}$，得到$t=\dfrac {{v}_{m}}{2g}\ln 3$。
步骤 4：计算所需时间
将${v}_{m}=50m\cdot {s}^{-1}$和$g=9.80m\cdot {s}^{-2}$代入$t=\dfrac {{v}_{m}}{2g}\ln 3$，得到$t=\dfrac {50}{2\times 9.80}\ln 3=2.80s$。