(2017,数二、三)求极限 lim _(xarrow {0)^+}dfrac ({int )_(0)^xsqrt (x-t)(e)^tdt}(sqrt {{x)^3}}

考查要点：本题主要考查变上限积分的极限计算，涉及变量替换、泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当$x \to 0^+$时，积分$\int_{0}^{x} \sqrt{x-t} e^t dt$的积分区间长度趋近于0，此时需通过变量替换将积分转化为更易处理的形式，再结合泰勒展开或洛必达法则求极限。

破题关键点：

1. 变量替换：令$u = x - t$，将积分转化为$\int_{0}^{x} \sqrt{u} e^{x-u} du$，简化被积函数。
2. 近似展开：当$x$趋近于0时，$e^{-u} \approx 1 - u$，从而将积分近似为$\int_{0}^{x} \sqrt{u} (1 - u) du$，计算主部项。
3. 极限化简：分子和分母的主部项相消后，得到极限值。

步骤1：变量替换
令$u = x - t$，则当$t = 0$时$u = x$，当$t = x$时$u = 0$，积分变为：
$\int_{0}^{x} \sqrt{x-t} e^t dt = \int_{0}^{x} \sqrt{u} e^{x-u} du = e^x \int_{0}^{x} \sqrt{u} e^{-u} du.$

步骤2：泰勒展开近似
当$x \to 0^+$时，$u \in [0, x]$也趋近于0，故$e^{-u} \approx 1 - u$，积分近似为：
$\int_{0}^{x} \sqrt{u} (1 - u) du = \int_{0}^{x} u^{1/2} du - \int_{0}^{x} u^{3/2} du.$

步骤3：计算积分

1. $\int_{0}^{x} u^{1/2} du = \dfrac{2}{3} x^{3/2}$，
2. $\int_{0}^{x} u^{3/2} du = \dfrac{2}{5} x^{5/2}$。
   主部项为$\dfrac{2}{3} x^{3/2}$，高阶项可忽略。

步骤4：代入原式化简
分子近似为$e^x \cdot \dfrac{2}{3} x^{3/2}$，分母为$\sqrt{x^3} = x^{3/2}$，故：
$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^x \cdot \dfrac{2}{3} x^{3/2}}{x^{3/2}} = \dfrac{2}{3} e^0 = \dfrac{2}{3}.$