lim tanx-sinx

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换和泰勒展开处理0/0型不定式的能力。

解题核心思路：

1. 分子变形：将$\tan x - \sin x$转化为$\sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$，简化表达式。
2. 分母替换：利用$\sin x \sim x$的等价无穷小关系，将$\sin^3 x$替换为$x^3$。
3. 关键替换：结合$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，最终化简得到极限值。

破题关键点：

• 分子分解是简化问题的核心步骤，需灵活运用三角恒等式。
• 等价无穷小替换的应用需注意保留有效阶数，避免遗漏关键项。

步骤1：分子变形
将$\tan x - \sin x$改写为：
$\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}.$

步骤2：代入原式
原式变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x \cdot \sin^2 x}.$

步骤3：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\cos x \to 1$，且$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$。代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{1 \cdot x^2} = \frac{1}{2}.$