题目
1.设随机变量X的分布函数为F(x)=}a+be^-lambda x,&x>0,0,&xleqslant 0,其中λ>0，求常数a,b的值.
1.设随机变量X的分布函数为
$F(x)=\begin{cases}a+be^{-\lambda x},&x>0,\\0,&x\leqslant 0,\end{cases}$
其中λ>0，求常数a,b的值.
题目解答
答案
根据分布函数的性质，当 $x \to +\infty$ 时，$F(x) \to 1$，且在 $x = 0$ 处右连续。
1. 当 $x \to +\infty$ 时，$e^{-\lambda x} \to 0$，故 $F(x) \to a = 1$。
2. 在 $x = 0$ 处，$F(0^+) = a + b = F(0) = 0$，代入 $a = 1$ 得 $b = -1$。
**答案：**
\[
\boxed{a = 1, b = -1}
\]
解析
分布函数的性质是解决本题的核心：
- 当$x \to +\infty$时，分布函数$F(x) \to 1$；
- 在分段点$x=0$处，分布函数必须右连续，即$F(0^+) = F(0)$。
通过这两个性质，可以建立方程求解常数$a$和$b$。
步骤1：利用极限性质求$a$
当$x \to +\infty$时，$e^{-\lambda x} \to 0$，因此：
$F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = a + b \cdot 0 = a.$
根据分布函数的性质，$F(+\infty) = 1$，故得：
$a = 1.$
步骤2：利用右连续性求$b$
在$x=0$处，右极限为：
$F(0^+) = a + b e^{-\lambda \cdot 0} = a + b.$
而根据分段定义，$F(0) = 0$。由右连续性得：
$F(0^+) = F(0) \implies a + b = 0.$
代入$a = 1$，解得：
$b = -1.$