题目

下面逻辑关系正确的是() A. 若AB=AC，则B=CB. 若AB=1+B，则A=1，B=1C. 若A+B=0B，则A=0，B=0D. A+BC=(A+B)(A+C)

下面逻辑关系正确的是()

  • A. 若AB=AC，则B=C
  • B. 若AB=1+B，则A=1，B=1
  • C. 若A+B=0B，则A=0，B=0
  • D. A+BC=(A+B)(A+C)

题目解答

答案

**选项分析：** - **A.** 若 $AB = AC$，则 $B = C$ 反例：$A = 0$ 时，$AB = AC = 0$，但 $B$、$C$ 可以不同，错误。 - **B.** 若 $AB = 1 + B$，则 $A = 1$，$B = 1$ $1 + B = 1$，故 $AB = 1$，仅当 $A = B = 1$ 时成立，正确。 - **C.** 若 $A + B = 0B$，则 $A = 0$，$B = 0$ $0B = 0$，故 $A + B = 0$，仅当 $A = B = 0$ 时成立，正确。 - **D.** $A + BC = (A + B)(A + C)$ 展开右边得 $A + AC + AB + BC$，利用吸收律化简为 $A + BC$，正确。 **答案：** 选项 B、C、D 均正确，但 D 为恒等式，适用于所有逻辑值，最强。 $\boxed{D}$

解析

本题考查逻辑代数的基本运算规则和恒等式，需逐一分析各选项的逻辑关系是否成立。解题核心在于：

  1. 掌握逻辑运算的基本性质（如吸收律、幂等律、互补律等）；
  2. 通过代数变形或反例验证命题的正确性；
  3. 区分条件等式与恒等式（如选项D为恒等式，适用于所有逻辑值）。

选项A：若 $AB = AC$，则 $B = C$

  • 反例验证：当 $A = 0$ 时，$AB = 0$，$AC = 0$，但 $B$ 和 $C$ 可以取任意值（如 $B=1$，$C=0$），此时等式成立但 $B \neq C$。
  • 结论：错误。

选项B：若 $AB = 1 + B$，则 $A = 1$，$B = 1$

  • 化简等式：逻辑加法中 $1 + B = 1$，因此等式变为 $AB = 1$。
  • 逻辑与性质：只有当 $A = 1$ 且 $B = 1$ 时，$AB = 1$。
  • 结论：正确。

选项C：若 $A + B = 0B$，则 $A = 0$，$B = 0$

  • 化简等式：逻辑与 $0B = 0$，因此等式变为 $A + B = 0$。
  • 逻辑或性质：只有当 $A = 0$ 且 $B = 0$ 时，$A + B = 0$。
  • 结论：正确。

选项D：$A + BC = (A + B)(A + C)$

  • 展开右边：$(A + B)(A + C) = A \cdot A + A \cdot C + B \cdot A + B \cdot C = A + AC + AB + BC$。
  • 应用吸收律：$A + AC = A$，$A + AB = A$，化简后为 $A + BC$，与左边相等。
  • 结论：恒成立，正确。