题目

信号 x(t)= e^3tu(t) 的收敛域是(） A sigma < 3 B 全 s 平面 C sigma > -3 D sigma > 3

信号 $x(t)= e^{3t}u(t)$ 的收敛域是(）

A $\sigma < 3$

B 全 $s$ 平面

C $\sigma > -3$

D $\sigma > 3$

题目解答

答案

为了确定信号 $ x(t) = e^{3|t|} $ 的收敛域，我们需要分析其拉普拉斯变换的收敛性。拉普拉斯变换的定义为： \[ X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \, dt \] 其中 $ s = \sigma + j\omega $，$\sigma$ 是实部，$j\omega$ 是虚部。 对于信号 $ x(t) = e^{3|t|} $，我们可以将其分为两部分： 1. 当 $ t \geq 0 $ 时，$ x(t) = e^{3t} $ 2. 当 $ t < 0 $ 时，$ x(t) = e^{-3t} $ 因此，拉普拉斯变换可以写为： \[ X(s) = \int_{-\infty}^{0} e^{-3t} e^{-st} \, dt + \int_{0}^{\infty} e^{3t} e^{-st} \, dt \] 将 $ s = \sigma + j\omega $ 代入，得到： \[ X(s) = \int_{-\infty}^{0} e^{-3t} e^{-(\sigma + j\omega)t} \, dt + \int_{0}^{\infty} e^{3t} e^{-(\sigma + j\omega)t} \, dt \] 简化指数部分： \[ X(s) = \int_{-\infty}^{0} e^{-3t} e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} \, dt + \int_{0}^{\infty} e^{3t} e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} \, dt \] \[ X(s) = \int_{-\infty}^{0} e^{-(3 + \sigma)t} e^{-j\omega t} \, dt + \int_{0}^{\infty} e^{(3 - \sigma)t} e^{-j\omega t} \, dt \] 分别计算这两个积分： 1. 对于 $ t < 0 $ 的部分： \[ \int_{-\infty}^{0} e^{-(3 + \sigma)t} e^{-j\omega t} \, dt = \int_{-\infty}^{0} e^{-(3 + \sigma)t} e^{-j\omega t} \, dt \] 由于 $ t < 0 $，$ e^{-(3 + \sigma)t} $ 随 $ t $ 的减小而增大，因此为了使积分收敛，需要 $ 3 + \sigma > 0 $，即 $ \sigma > -3 $。 2. 对于 $ t \geq 0 $ 的部分： \[ \int_{0}^{\infty} e^{(3 - \sigma)t} e^{-j\omega t} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{(3 - \sigma)t} e^{-j\omega t} \, dt \] 由于 $ t \geq 0 $，$ e^{(3 - \sigma)t} $ 随 $ t $ 的增大而增大，因此为了使积分收敛，需要 $ 3 - \sigma < 0 $，即 $ \sigma > 3 $。 综合这两个条件，我们可以看到： - 对于 $ t < 0 $ 的部分，需要 $ \sigma > -3 $ - 对于 $ t \geq 0 $ 的部分，需要 $ \sigma > 3 $ 因此，为了使整个积分收敛，需要同时满足这两个条件。显然，$ \sigma > 3 $ 是更严格的条件，因此收敛域为 $ \sigma > 3 $。 最终答案是：D $\sigma > 3$。

解析

本题主要考察拉普拉斯变换收敛域的确定，关键在于根据信号的分段特性分析积分收敛条件。

步骤1：信号分段与拉普拉斯变换定义

信号 $x(t) = e^{3|t|}$ 是双边信号，需分 $t \geq 0$ 和 $t < 0$ 两段计算拉普拉斯变换：

  • $t \geq 0$ 时，$x(t) = e^{3t}$
  • $t < 0$ 时，$x(t) = e^{-3t}$

拉普拉斯变换定义为：
$X(s) = \int_{-\infty}^{0} e^{-3t}e^{-st}dt + \int_{0}^{\infty} e^{3t}e^{-st}dt$
其中 $s = \sigma + j\omega$，$\sigma$ 为实部，积分收敛的核心是指数项衰减。

步骤2：分析 $t < 0$ 段积分收敛条件

对 $t < 0$ 的积分：
$\int_{-\infty}^{0} e^{-(3+\sigma)t}e^{-j\omega t}dt$
$t < 0$ 时，$t$ 为负，指数 $-(3+\sigma)t$ 需满足 $-(3+\sigma)t < \infty$（即指数衰减），等价于 $3+\sigma > 0$，故 $\sigma > -3$。

步骤3：分析 $t \geq 0$ 段积分收敛条件

对 $t \geq 0$ 的积分：
$\int_{0}^{\infty} e^{(3-\sigma)t}e^{-j\omega t}dt$
$t \geq 0$ 时，$t$ 为正，指数 $(3-\sigma)t$ 需满足 $(3-\sigma)t < \infty$（即指数衰减），等价于 $3-\sigma < 0$，故 $\sigma > 3$。

步骤4：确定收敛域

双边信号的收敛域需同时满足两段积分收敛，$\sigma > 3$ 是比 $\sigma > -3$ 更严格的条件，因此收敛域为 $\sigma > 3$。