题目
例4 设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到 =x(0lt xlt 1) 时,-|||-数Y在区间(x,1 )上随机地取值.求Y的概率密度fy (y).
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题背景。
题目描述了一个随机变量X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到 $X=x(0\lt x\lt 1)$ 时，另一个随机变量Y在区间(x,1)上随机地取值。
步骤 2：确定X的概率密度函数。
根据题目描述，X的概率密度函数为 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt x\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ 。
步骤 3：确定Y在X=x条件下的条件概率密度函数。
根据题目描述，Y在X=x条件下的条件概率密度函数为 ${f}_{Y|x}(y|x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{1-x},x\lt y\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ 。
步骤 4：计算X和Y的联合概率密度函数。
根据步骤 2 和步骤 3，X和Y的联合概率密度函数为 $f(x,y)={f}_{Y|x}(y|x){f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{1-x},\\ 0,\end{matrix} \right.$ $\dfrac {1}{1-x},0\lt x\lt y\lt 1$ , 其他. 。
步骤 5：计算关于Y的边缘概率密度函数。
根据步骤 4，关于Y的边缘概率密度函数为 ${f}_{Y}(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$ = ${\int }_{0}^{y}\dfrac {1}{1-x}dx=-\ln (1-y)$ ,. $0\lt y\lt 1$ , 0, 其他. 。
题目描述了一个随机变量X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到 $X=x(0\lt x\lt 1)$ 时，另一个随机变量Y在区间(x,1)上随机地取值。
步骤 2：确定X的概率密度函数。
根据题目描述，X的概率密度函数为 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt x\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ 。
步骤 3：确定Y在X=x条件下的条件概率密度函数。
根据题目描述，Y在X=x条件下的条件概率密度函数为 ${f}_{Y|x}(y|x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{1-x},x\lt y\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ 。
步骤 4：计算X和Y的联合概率密度函数。
根据步骤 2 和步骤 3，X和Y的联合概率密度函数为 $f(x,y)={f}_{Y|x}(y|x){f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{1-x},\\ 0,\end{matrix} \right.$ $\dfrac {1}{1-x},0\lt x\lt y\lt 1$ , 其他. 。
步骤 5：计算关于Y的边缘概率密度函数。
根据步骤 4，关于Y的边缘概率密度函数为 ${f}_{Y}(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$ = ${\int }_{0}^{y}\dfrac {1}{1-x}dx=-\ln (1-y)$ ,. $0\lt y\lt 1$ , 0, 其他. 。