例1 求微分方程 '=xcos x 的通解.

考查要点：本题主要考查二阶常微分方程的求解方法，特别是通过两次积分求通解的能力。关键在于正确应用分部积分法，并处理积分常数。

解题思路：

1. 两次积分：将二阶导数方程逐次积分，先求一阶导数的表达式，再积分得到原函数。
2. 分部积分法：对含乘积项的积分（如$x\cos x$和$x\sin x$）需正确选择分部积分中的$u$和$dv$。
3. 积分常数：每次积分后需引入常数$C_1$和$C_2$，最终通解包含两个独立常数。

第一次积分求$y'$

对$y'' = x\cos x$两边积分：
$y' = \int x\cos x \, dx + C_1$
分部积分：

• 设$u = x$，则$du = dx$；
• 设$dv = \cos x \, dx$，则$v = \sin x$；
• 积分结果为：
  $\int x\cos x \, dx = x\sin x - \int \sin x \, dx = x\sin x + \cos x$
  因此：
  $y' = x\sin x + \cos x + C_1$

第二次积分求$y$

对$y' = x\sin x + \cos x + C_1$积分：
$y = \int (x\sin x + \cos x + C_1) \, dx$
分项积分：

1. $\int x\sin x \, dx$：
   • 设$u = x$，则$du = dx$；
   • 设$dv = \sin x \, dx$，则$v = -\cos x$；
   • 结果为：
     $-x\cos x + \int \cos x \, dx = -x\cos x + \sin x$
2. $\int \cos x \, dx = \sin x$
3. $\int C_1 \, dx = C_1 x$

合并结果：
$y = -x\cos x + \sin x + \sin x + C_1 x + C_2 = -x\cos x + 2\sin x + C_1 x + C_2$