电量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内,则球内球外的静电能之比 。

考查要点：本题主要考查均匀带电球体的静电能计算，涉及电场分布与能量积分。

解题核心思路：

1. 电场分布：均匀带电球体的电场分为球内（线性增加）和球外（类点电荷）两部分。
2. 静电能公式：利用能量密度公式 $W = \frac{1}{2\varepsilon_0} \int E^2 \, dV$，分别计算球内、球外的积分。
3. 对称性简化：通过球坐标系的体积积分，结合对称性简化计算。

破题关键点：

• 球内电场：$E_{\text{内}} = \frac{kQr}{R^3}$（$r \leq R$）。
• 球外电场：$E_{\text{外}} = \frac{kQ}{r^2}$（$r \geq R$）。
• 积分技巧：将球对称积分转换为径向积分，利用角度积分结果 $4\pi$。

球内静电能计算

1. 电场表达式：
   球内任意点电场为 $E_{\text{内}} = \frac{kQr}{R^3}$。
2. 能量密度积分：
   静电能公式为：
   $W_{\text{内}} = \frac{1}{2\varepsilon_0} \int_{0}^{R} \left( \frac{kQr}{R^3} \right)^2 \cdot 4\pi r^2 \, dr$
3. 化简积分：
   代入 $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$，计算得：
   $W_{\text{内}} = \frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0^3 R}$

球外静电能计算

1. 电场表达式：
   球外电场为 $E_{\text{外}} = \frac{kQ}{r^2}$。
2. 能量密度积分：
   静电能公式为：
   $W_{\text{外}} = \frac{1}{2\varepsilon_0} \int_{R}^{\infty} \left( \frac{kQ}{r^2} \right)^2 \cdot 4\pi r^2 \, dr$
3. 化简积分：
   代入 $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$，计算得：
   $W_{\text{外}} = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0^3 R}$

比值计算

球内与球外静电能之比为：
$\frac{W_{\text{内}}}{W_{\text{外}}} = \frac{\frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0^3 R}}{\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0^3 R}} = \frac{1}{5}$