期末考试-|||-(问答题,10.0分)求函数 s =ln tan dfrac (x)(2) 的导数 dfrac (dy)(dx)

步骤 1：应用链式法则
链式法则用于求复合函数的导数。给定函数 $y = \ln \tan \dfrac{x}{2}$，我们可以将其视为 $y = \ln u$ 和 $u = \tan \dfrac{x}{2}$ 的复合函数。根据链式法则，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$。

步骤 2：求 $\dfrac{dy}{du}$
对于 $y = \ln u$，其导数为 $\dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u}$。

步骤 3：求 $\dfrac{du}{dx}$
对于 $u = \tan \dfrac{x}{2}$，其导数为 $\dfrac{du}{dx} = \sec^2 \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$，因为 $\dfrac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$，而 $\dfrac{x}{2}$ 的导数是 $\dfrac{1}{2}$。

步骤 4：将 $\dfrac{dy}{du}$ 和 $\dfrac{du}{dx}$ 结合
将步骤 2 和步骤 3 的结果结合，我们得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{u} \cdot \sec^2 \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$。将 $u = \tan \dfrac{x}{2}$ 代入，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} \cdot \sec^2 \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$。

步骤 5：简化表达式
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} \cdot \sec^2 \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sec^2 \dfrac{x}{2}}{2 \tan \dfrac{x}{2}} = \dfrac{1}{2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}} = \dfrac{1}{\sin x}$，因为 $\sin x = 2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}$。