函数y=xcos x在(-∞,+∞ )内是否有界？这个函数是否为当x→+ ∞时的无穷大？为什么？

考查要点：本题主要考查函数有界性及无穷大的定义，需要结合三角函数的周期性与代数函数的增长性进行分析。

解题核心思路：

1. 有界性：判断是否存在常数$M$，使得$|x\cos x| \leq M$对所有$x$成立。关键在于分析$\cos x$的周期性波动对$x$增长的影响。
2. 无穷大定义：根据极限定义，若$\lim_{x\to+\infty} x\cos x = +\infty$，则需满足对任意$M>0$，存在$N$使得$x>N$时$x\cos x > M$。需验证是否存在例外情况。

破题关键点：

• 利用$\cos x$的周期性：当$x$取特定值（如$x=2k\pi$）时，$\cos x=1$，此时$y=x$可任意大，说明无界。
• 反例的存在性：当$x=(2k+1)\pi/2$时，$\cos x=0$，此时$y=0$，说明无法满足无穷大定义中的“所有足够大的$x$”条件。

1. 函数是否在$(-\infty, +\infty)$内有界？

关键步骤：

• 构造无界反例：取$x=2k\pi$（$k$为自然数），此时$\cos x=1$，则$y=x\cos x = x = 2k\pi$。
• 分析增长性：当$k$增大时，$y=2k\pi$可任意大，即对任意$M>0$，存在$k$使得$y>M$，故函数无界。

2. 函数是否为$x\to+\infty$时的无穷大？

关键步骤：

• 验证无穷大定义：若$y$是无穷大，则对任意$M>0$，存在$N$使得$x>N$时$y> M$。
• 构造反例：取$x=(2k+1)\pi/2$（$k$为自然数），此时$\cos x=0$，则$y=x\cos x=0$。
• 结论矛盾：即使$x$很大，$y$仍可能为$0$，不满足“所有足够大的$x$”均使$y>M$，故$y$不是无穷大。