设f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 . 则f(x)在 x=1 处的

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的左右导数存在性判断，涉及函数连续性与可导性的关系。

解题核心思路：

1. 判断函数在分段点处的连续性：若函数在某点不连续，则该点的导数可能存在也可能不存在，需进一步分析左右导数。
2. 分别计算左导数和右导数：
   • 左导数：使用左侧表达式求导，并验证极限是否存在。
   • 右导数：使用右侧表达式求导，同时注意函数在分段点的值是否连续，若不连续可能导致右导数不存在。

破题关键点：

• 函数在x=1处不连续：左极限为$\frac{2}{3}$，右极限为1，故不右连续。
• 右导数的极限形式：由于函数在x=1处不连续，右导数的分子包含$f(1+h)-f(1)$，其中$f(1)$与右侧函数值不匹配，导致极限趋向无穷，故右导数不存在。

步骤1：判断函数在x=1处的连续性

• 左极限：$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \frac{2}{3}(1)^3 = \frac{2}{3}$
• 右极限：$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = (1)^2 = 1$
• 函数值：$f(1) = \frac{2}{3}$
  由于左极限等于函数值，但右极限不等于函数值，故f(x)在x=1处不右连续。

步骤2：计算左导数

• 左侧表达式：$f(x) = \frac{2}{3}x^3$，导数为$f'(x) = 2x^2$
• 左导数：$\lim\limits_{x \to 1^-} f'(x) = 2(1)^2 = 2$
  因此，左导数存在且等于2。

步骤3：计算右导数

• 右侧表达式：$f(x) = x^2$，导数为$f'(x) = 2x$
• 右导数定义：
  $\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim\limits_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2 - \frac{2}{3}}{h}$
  展开分子：
  $(1 + 2h + h^2) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + 2h + h^2$
  代入极限：
  $\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{\frac{1}{3} + 2h + h^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0^+} \left( \frac{1}{3h} + 2 + h \right)$
  由于$\frac{1}{3h} \to +\infty$，故右导数的极限不存在。