题目

int (arcsin x)^2dx

$\int (\arcsin x)^{2}dx$

题目解答

答案

解法一:$\int (\arcsin x)^{2}dx=x(\arcsin x)^{2}-\int \frac{2x\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$$=x(\arcsin x)^{2}+\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}d(1-x^{2})$$=x(\arcsin x)^{2}+2\int \arcsin xd\sqrt{1-x^{2}}$$=x(\arcsin x)^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x-2\int dx$$=x(\arcsin x)^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x-2x+C$

解法二:令$u=\arcsin x$,则$x=\sin u$,$dx=\cos udu$,

$\int (\arcsin x)^{2}dx=\int u^{2}\cos udu=\int u^{2}d\sin u$

$=u^{2}\sin u-\int 2u\sin udu$

$=u^{2}\sin u+2 \int u\cos u$

$=u^{2}\sin u+2u\cos u-2\int \cos udu$

$=u^{2}\sin u+2u\cos u-2\sin u+C$

$=x(\arcsin u)^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x-2x+C$

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法和换元积分法的综合应用，特别是处理含有反三角函数的积分问题。

解题核心思路：

  1. 分部积分法：通过合理选择分部积分中的u和dv，将复杂积分转化为更简单的形式。
  2. 换元法：通过变量代换（如令u = arcsinx），将原积分转化为更易处理的积分形式。
  3. 多次分部积分：在解法二中，需要对积分进行两次分部积分，逐步简化表达式。

破题关键点：

  • 选择合适的分部积分策略，例如将(arcsinx)^2作为分部积分中的u部分。
  • 灵活处理积分中的根号项（如√(1-x²)），通过换元或分部积分进一步简化。

解法一：分部积分法

  1. 第一次分部积分
    设 u = (arcsinx)^2，则 du = 2(arcsinx) * (1/√(1-x²)) dx；
    设 dv = dx，则 v = x。
    分部积分公式得：
    $\int (\arcsinx)^2 dx = x(\arcsinx)^2 - \int \frac{2x \arcsinx}{\sqrt{1-x^2}} dx$

  2. 处理剩余积分
    对剩余积分 $\int \frac{2x \arcsinx}{\sqrt{1-x^2}} dx$，令 t = 1 - x^2，则 dt = -2x dx，积分变为：
    $\int \frac{\arcsinx}{\sqrt{1-x^2}} d(1-x^2) = 2 \int \arcsinx d(\sqrt{1-x^2})$

  3. 第二次分部积分
    设 u = arcsinx，则 du = 1/√(1-x²) dx；
    设 dv = d(√(1-x²))，则 v = √(1-x²)。
    分部积分得：
    $2 \left[ \arcsinx \cdot \sqrt{1-x^2} - \int \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \right] = 2\sqrt{1-x^2} \arcsinx - 2x$

  4. 合并结果
    最终结果为：
    $x(\arcsinx)^2 + 2\sqrt{1-x^2} \arcsinx - 2x + C$

解法二：换元法 + 分部积分

  1. 变量代换
    令 u = arcsinx，则 x = sinu，dx = cosu du，原积分变为：
    $\int u^2 \cosu du$

  2. 第一次分部积分
    设 u^2 为分部积分中的 u，则 du = 2u du；
    设 dv = cosu du，则 v = sinu。
    分部积分得：
    $u^2 \sinu - \int 2u \sinu du$

  3. 第二次分部积分
    对剩余积分 $\int 2u \sinu du$，设 u = u，则 du = du；
    设 dv = sinu du，则 v = -cosu。
    分部积分得：
    $-2u \cosu + 2 \int \cosu du = -2u \cosu + 2 \sinu$

  4. 合并结果并回代
    最终结果为：
    $u^2 \sinu + 2u \cosu - 2 \sinu + C$
    将 u = arcsinx 和 sinu = x、cosu = √(1-x²) 代回，得到：
    $x(\arcsinx)^2 + 2\sqrt{1-x^2} \arcsinx - 2x + C$