题目
9.若某地每天下雨的概率为50%，求5天中至少连续3天下雨的概率。
9.若某地每天下雨的概率为50%，求5天中至少连续3天下雨的概率。
题目解答
答案
考虑5天中至少连续3天下雨的情况，可分解为以下互斥事件：
1. **连续3天**：
- RRRNN, NRRRN, NNRRR（3种）
2. **连续4天**：
- RRRRN, NRRRR（2种）
3. **连续5天**：
- RRRRR（1种）
每种情况的概率为 $ \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{1}{32} $。
总概率：
\[ (3 + 2 + 1) \times \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} \]
但需注意，连续4天和5天已包含连续3天，应避免重复计算。
**正确计算**：
- **连续3天（不包含4、5天）**：
RRRNN, NRRRN, NNRRR（3种）
- **连续4天**：
RRRRN, NRRRR（2种）
- **连续5天**：
RRRRR（1种）
总概率：
\[ 3 \times \frac{1}{32} + 2 \times \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{1}{4} \]
或使用补集（无连续3天）：
\[ a_5 = a_4 + a_3 + a_2 = 13 + 7 + 4 = 24 \]
\[ P(\text{无连续3天}) = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \]
\[ P(\text{至少连续3天}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]
**答案**：
\[
\boxed{\frac{1}{4}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查排列组合与概率计算，重点在于处理至少连续多个事件的概率问题。关键在于正确分解互斥事件，避免重复计算，或利用补集思想简化计算。
解题核心思路：
- 直接法：将“至少连续3天下雨”分解为恰好连续3天、4天、5天的互斥事件，分别计算组合数并求和。
- 补集法（更高效）：先计算无连续3天下雨的情况数，再用总概率减去它。通过递推公式快速求解无连续3天的情况数。
破题关键点：
- 避免重复计算：直接法需确保各事件互斥（如连续4天不包含连续3天的情况）。
- 递推公式：补集法中，递推公式
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + aₙ₋₃能高效计算无连续3天的情况数。
方法一：直接法（需修正重复计算）
- 分解事件：
- 恰好连续3天（不包含更长连续）：
- RRRNN, NRRRN, NNRRR（共3种）
- 连续4天：
- RRRRN, NRRRR（共2种）
- 连续5天：
- RRRRR（共1种）
- 恰好连续3天（不包含更长连续）：
- 计算概率：
每种情况概率为 $\left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{1}{32}$，总概率为：
$(3 + 2 + 1) \times \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$
错误原因：原分解未正确排除更长连续的情况，导致重复计算。
方法二：补集法（推荐）
- 计算无连续3天的情况数：
递推公式：
$a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$
初始条件：
$a_0 = 1,\ a_1 = 2,\ a_2 = 4$
递推结果：
$a_3 = 7,\ a_4 = 13,\ a_5 = 24$ - 计算概率：
无连续3天的概率为 $\frac{24}{32} = \frac{3}{4}$，因此至少连续3天的概率为：
$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$