[2023年真题]设连续函数f(x)满足： f(x+2)-f(x)=x,int_(0)^2f(x)dx=0,则 int_(1)^3f(x)dx=

本题主要考查定积分的计算以及函数关系式的运用。解题的关键思路是通过对积分区间进行拆分，再利用已知的函数关系式$f(x + 2) - f(x) = x$对积分进行变换，最后结合已知的定积分$\int_{0}^{2}f(x)dx = 0$来求解$\int_{1}^{3}f(x)dx$。

1. 拆分积分区间：
   根据定积分的可加性，将$\int_{1}^{3}f(x)dx$拆分为$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx$。
2. 对$\int_{2}^{3} f(x) \, dx$进行变换：
   已知$f(x + 2) = f(x) + x$，令$u = x - 2$，则$x = u + 2$，$dx = du$。
   当$x = 2$时，$u = 2 - 2 = 0$；当$x = 3$时，$u = 3 - 2 = 1$。
   所以$\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u + 2) \, du$。
   将$f(u + 2) = f(u) + u$代入上式可得：
   $\int_{0}^{1} f(u + 2) \, du = \int_{0}^{1} (f(u) + u) \, du$
   根据定积分的可加性，$\int_{0}^{1} (f(u) + u) \, du = \int_{0}^{1} f(u) \, du + \int_{0}^{1} u \, du$。
   计算$\int_{0}^{1} u \, du$，根据定积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$）可得：
   $\int_{0}^{1} u \, du = \left[\frac{1}{2}u^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\times 1^2 - \frac{1}{2}\times 0^2 = \frac{1}{2}$
   所以$\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \, du + \frac{1}{2}$。
3. 对$\int_{1}^{2} f(x) \, dx$进行变换：
   已知$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0$，根据定积分的可加性$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx$，可得：
   $\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -\int_{0}^{1} f(x) \, dx$
4. 计算$\int_{1}^{3} f(x) \, dx$：
   将$\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -\int_{0}^{1} f(x) \, dx$和$\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \, du + \frac{1}{2}$代入$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx$可得：
   $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -\int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$