函数 f(t)= te^-3t varepsilon(t) 的拉普拉斯变换 F(s)= ____。A. (1)/((s+3)^2)B. (1)/(s+3)C. (1)/((s-3)^2)D. (1)/(s-3)

考查要点：本题主要考查拉普拉斯变换的频域微分性质和指数乘法性质的应用，以及对基本变换对的掌握。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将函数拆分为基本变换对与性质的组合，如 $te^{-3t}\varepsilon(t)$ 可视为 $t$ 与 $e^{-3t}\varepsilon(t)$ 的乘积。
2. 选择适用性质：
   • 频域微分性质：若函数含 $t$ 因子，可利用 $\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$。
   • 指数乘法性质：若函数含 $e^{-at}$ 因子，可利用 $\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a)$。
3. 分步计算：先求基本变换对的拉普拉斯变换，再结合性质推导最终结果。

破题关键点：

• 正确识别函数结构，选择最简性质路径。
• 注意符号和变量替换，避免计算错误。

方法一：频域微分性质

1. 确定基本函数：令 $f(t) = e^{-3t}\varepsilon(t)$，其拉普拉斯变换为：
   $F(s) = \mathcal{L}\{e^{-3t}\varepsilon(t)\} = \frac{1}{s+3}.$
2. 应用频域微分性质：原函数含 $t$ 因子，根据 $\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$，对 $F(s)$ 求导：
   $-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s+3}\right) = -\left(-\frac{1}{(s+3)^2}\right) = \frac{1}{(s+3)^2}.$

方法二：指数乘法性质

1. 确定基本函数：令 $f(t) = t\varepsilon(t)$，其拉普拉斯变换为：
   $\mathcal{L}\{t\varepsilon(t)\} = \frac{1}{s^2}.$
2. 应用指数乘法性质：原函数含 $e^{-3t}$ 因子，根据 $\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a)$，将 $s$ 替换为 $s+3$：
   $\mathcal{L}\{te^{-3t}\varepsilon(t)\} = \frac{1}{(s+3)^2}.$

结论：两种方法均得 $F(s) = \frac{1}{(s+3)^2}$，对应选项 A。