设函数 f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程 f'(x) = 0 根的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4

我们来逐步分析并解决这个问题。

题目：

设函数
$f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)$
则方程
$f'(x) = 0$
根的个数为（ ）

选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

第一步：理解函数的结构

函数 $ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3) $ 是一个 四次多项式函数，可以写成：

$f(x) = (x)(x-1)(x-2)(x-3)$

这是一个 四次多项式，所以它的导数 $ f'(x) $ 是一个 三次多项式。

第二步：导数的次数

我们知道：

• 一个 $ n $ 次多项式函数的导数是一个 $ n-1 $ 次多项式函数。
• 所以 $ f(x) $ 是 4 次多项式，那么 $ f'(x) $ 是 3 次多项式。
• 三次多项式最多有 3 个实根（可以有重复根）。

第三步：分析函数的图像

函数 $ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3) $ 是一个开口向上的四次多项式（因为最高次项是 $ x^4 $，系数为正），它的图像大致如下：

• 它在 $ x = 0, 1, 2, 3 $ 处与 x 轴相交（即有 4 个实数零点）。
• 因此，函数图像在这四个点之间会有上升和下降的变化，即图像会有 局部极大值和极小值。
• 每个局部极值点对应导数为零的点。

第四步：使用罗尔定理（Rolle's Theorem）

我们利用罗尔定理来分析导数的根。

罗尔定理：
如果函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，那么在 $ (a, b) $ 内至少存在一个点 $ c $，使得 $ f'(c) = 0 $。

应用罗尔定理：

函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0, 1, 2, 3 $ 处为 0，所以：

• 在区间 $ (0,1) $ 内，至少存在一个点 $ c_1 $，使得 $ f'(c_1) = 0 $
• 在区间 $ (1,2) $ 内，至少存在一个点 $ c_2 $，使得 $ f'(c_2) = 0 $
• 在区间 $ (2,3) $ 内，至少存在一个点 $ c_3 $，使得 $ f'(c_3) = 0 $

因此，导数 $ f'(x) $ 至少有 3 个实根。

第五步：导数的次数限制

因为 $ f'(x) $ 是三次多项式，最多有 3 个实根（包括重根），而我们已经通过罗尔定理证明了它至少有 3 个实根。

所以：

$f'(x) = 0 \text{ 有且仅有 3 个实根}$

最终答案：

$\boxed{C. 3}$