题目
曲线积分 int_(L) (x^2 + y^2), ds，其中 L 是圆心在原点，半径为 a 的圆周，则曲线积分的值为(）A. 2pi a^2B. pi a^3C. 2pi a^3D. 4pi a^3
曲线积分 $\int_{L} (x^2 + y^2)\, ds$，其中 $L$ 是圆心在原点，半径为 $a$ 的圆周，则曲线积分的值为(）
A. $2\pi a^2$
B. $\pi a^3$
C. $2\pi a^3$
D. $4\pi a^3$
题目解答
答案
C. $2\pi a^3$
解析
步骤 1：参数化圆周
圆周 $L$ 可以参数化为 $x = a\cos\theta$，$y = a\sin\theta$，其中 $\theta \in [0, 2\pi]$。这是因为圆周上的点 $(x, y)$ 满足 $x^2 + y^2 = a^2$，而参数化形式正好满足这个条件。
步骤 2：计算弧长元素
根据参数化形式，计算弧长元素 $ds$。由于 $x = a\cos\theta$ 和 $y = a\sin\theta$，则 $dx = -a\sin\theta\,d\theta$ 和 $dy = a\cos\theta\,d\theta$。因此，$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{a^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta}\,d\theta = a\,d\theta$。
步骤 3：代入曲线积分
将 $x^2 + y^2 = a^2$ 和 $ds = a\,d\theta$ 代入曲线积分 $\int_{L} (x^2 + y^2)\, ds$，得到 $\int_{0}^{2\pi} a^2 \cdot a\,d\theta = a^3 \int_{0}^{2\pi} d\theta$。计算积分，得到 $a^3 \cdot 2\pi = 2\pi a^3$。
圆周 $L$ 可以参数化为 $x = a\cos\theta$，$y = a\sin\theta$，其中 $\theta \in [0, 2\pi]$。这是因为圆周上的点 $(x, y)$ 满足 $x^2 + y^2 = a^2$，而参数化形式正好满足这个条件。
步骤 2：计算弧长元素
根据参数化形式，计算弧长元素 $ds$。由于 $x = a\cos\theta$ 和 $y = a\sin\theta$，则 $dx = -a\sin\theta\,d\theta$ 和 $dy = a\cos\theta\,d\theta$。因此，$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{a^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta}\,d\theta = a\,d\theta$。
步骤 3：代入曲线积分
将 $x^2 + y^2 = a^2$ 和 $ds = a\,d\theta$ 代入曲线积分 $\int_{L} (x^2 + y^2)\, ds$，得到 $\int_{0}^{2\pi} a^2 \cdot a\,d\theta = a^3 \int_{0}^{2\pi} d\theta$。计算积分，得到 $a^3 \cdot 2\pi = 2\pi a^3$。