19.某考生想借一本书,决定到三个图书馆去借,对每一个图书馆而言,有-|||-无这本书的概率相等;若有,能否借到的概率也相等.假设这三个图书馆采购、出-|||-借图书相互独立,求该生能借到此书的概率.

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，以及利用逆事件概率简化计算的能力。

解题核心思路：

1. 分解事件：每个图书馆借书的过程分为两步——“是否有书”和“能否借到”，两步均独立且概率均为$\frac{1}{2}$。
2. 单次成功概率：对单个图书馆，借到书的概率为$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
3. 逆事件法：计算三个图书馆均借不到书的概率，再用$1$减去该概率，得到至少借到一个的概率。

破题关键点：

• 独立性：三个图书馆的事件相互独立，可用乘法公式计算联合概率。
• 逆向思维：直接计算“至少一个成功”较复杂，转而计算“全部失败”的概率更高效。

单个图书馆借书的概率分析

1. 有书的概率：$\frac{1}{2}$。
2. 能借到的概率：在有书的前提下，概率为$\frac{1}{2}$。
3. 单次成功概率：
   $P(\text{借到}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$
4. 单次失败概率：
   $P(\text{借不到}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$

三个图书馆均借不到的概率

由于独立性，三个图书馆均失败的概率为：
$P(\text{全部失败}) = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}.$

至少借到一个的概率

用逆事件概率计算：
$P(\text{至少借到一个}) = 1 - P(\text{全部失败}) = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}.$