题目
当满足下列哪个条件时，正项级数 sum_(n=1)^infty u_n 收敛.A. lim_(n to infty) u_n = 0B. lim_(n to infty) u_n neq 0C. lim_(n to infty) (u_(n+1))/(u_n) > 1D. lim_(n to infty) (u_(n+1))/(u_n)
当满足下列哪个条件时，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛.
A. $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
B. $\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$
C. $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$
D. $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$
题目解答
答案
D. $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$
解析
步骤 1：分析选项 A
$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ 是正项级数收敛的必要条件，但不是充分条件。例如，调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的通项 $\frac{1}{n}$ 趋向于 0，但该级数是发散的。
步骤 2：分析选项 B
$\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$ 导致级数发散，因为如果通项不趋向于 0，级数不可能收敛。
步骤 3：分析选项 C
$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ 由比值测试知，如果比值大于 1，级数发散。
步骤 4：分析选项 D
$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ 由比值测试知，如果比值小于 1，级数收敛。
$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ 是正项级数收敛的必要条件，但不是充分条件。例如，调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的通项 $\frac{1}{n}$ 趋向于 0，但该级数是发散的。
步骤 2：分析选项 B
$\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$ 导致级数发散，因为如果通项不趋向于 0，级数不可能收敛。
步骤 3：分析选项 C
$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ 由比值测试知，如果比值大于 1，级数发散。
步骤 4：分析选项 D
$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ 由比值测试知，如果比值小于 1，级数收敛。